Glavna naloga elektrostatike je formulirana na naslednji način: glede na prostorsko porazdelitev virov polja - električnih nabojev - poiščite vrednost vektorja intenzivnosti na vseh točkah polja. To težavo je mogoče rešiti na podlagi princip superpozicije električna polja.
Električna poljska jakost sistema nabojev je enaka geometrijski vsoti poljskih jakosti vsakega od nabojev posebej.
Naboji se lahko porazdelijo po prostoru bodisi diskretno bodisi zvezno. V prvem primeru poljska jakost za sistem točkastih nabojev
kje je poljska jakost jaz th naboj sistema na obravnavani točki v prostoru, n je skupno število diskretnih nabojev sistema.
Če so električni naboji neprekinjeno porazdeljeni vzdolž črte, se uvede linearna gostota dajatve t, Kl/m.
t = (dq/dl),
Kje dq- naboj majhne dolžine odseka dl.
Če so električni naboji neprekinjeno porazdeljeni po površini, je uvedena površinska gostota naboja s, C/m 2 .
s = (dq/dS),
Kje dq- naboj, ki se nahaja na majhni površini dS.
Z neprekinjeno porazdelitvijo nabojev v kateri koli prostornini se uvede volumetrična gostota naboja r, C/m 3 .
r = (dq/dV),
Kje dq- naboj, ki se nahaja v elementu majhne prostornine dV.
V skladu z načelom superpozicije je jakost elektrostatičnega polja, ki ga v vakuumu ustvarijo zvezno porazdeljeni naboji:
kjer je jakost elektrostatičnega polja, ki ga v vakuumu ustvari majhen naboj dq, integracija pa se izvaja po vseh zvezno porazdeljenih nabojih.
Razmislimo o uporabi principa superpozicije na električnem dipolu.
Električni dipol je sistem dveh električnih nabojev, enakih v absolutni vrednosti in nasprotnih predznakov ( q in –q), razdalja l med katerima je malo v primerjavi z razdaljo do obravnavanih točk polja. Vektor, usmerjen vzdolž osi dipola od negativnega proti pozitivnemu naboju, se imenuje roka dipola. Vektor se imenuje električni moment dipola (dipolni električni moment). Poljska jakost dipola v poljubni točki , kjer sta in poljski jakosti nabojev q in -q (slika 1.2).
V točki A, ki se nahaja na osi dipola na razdalji r iz njegovega središča ( r>>l), jakost dipolnega polja v vakuumu:
V točki B, ki se nahaja na pravokotnici, ki je vzpostavljena na os dipola iz njegove sredine, na razdalji r iz centra ( r>>l):
V poljubni točki C modul vektorja napetosti
Kje r- vrednost radijskega vektorja, narisanega iz središča dipola v točko C; a je kot med vektorjem radija in dipolnim momentom (slika 1.2).
1.3. Tok napetosti. Gaussov izrek za elektrostatično polje v vakuumu
Elementarni tok električne poljske jakosti skozi majhno površino površine dS, ki je narisana v polju, se imenuje skalarna fizična količina
dN = = EdScos() = E n dS = EdS ^ ,
kjer je vektor električne poljske jakosti na mestu dS, - normalni enotski vektor na mesto dS, -vektor mesta, E n = Ecos()- projekcija vektorja na smer vektorja , dS^ = dScos()- območje projekcije elementa dS površino na ravnino, pravokotno na vektor (slika 1.3).
Gaussov izrek
Tok elektrostatične poljske jakosti v vakuumu skozi poljubno zaprto površino je sorazmeren z algebraično vsoto električnih nabojev, ki jih pokriva ta površina:
kjer so vsi vektorji usmerjeni vzdolž zunanjih normal na zaprto integracijsko površino S ki se pogosto imenuje Gaussova površina.
1.4. Potencial elektrostatičnega polja. Delo, ki ga opravijo sile elektrostatičnega polja, ko se skozi njega premika električni naboj
delo dA, ki ga dosežejo Coulombove sile z majhnim premikom točkastega naboja q v elektrostatičnem polju:
kjer je poljska jakost na mestu naboja q. Delo, ki ga opravi Coulombova sila pri premikanju naboja q od točke 1 do točke 2 ni odvisna od oblike trajektorije naboja (tj. Coulombove sile so konzervativne sile). Delo, ki ga opravijo sile elektrostatičnega polja pri premikanju naboja q vzdolž katere koli zaprte konture L enako nič. To lahko zapišemo kot cirkulacijski izreki vektor elektrostatične poljske jakosti.
Kroženje vektorja elektrostatične poljske jakosti je nič:
Ta odnos, ki izraža potencialno naravo elektrostatičnega polja, velja tako v vakuumu kot v materiji.
delo dA, ki ga dosežejo sile elektrostatičnega polja z majhnim premikom točkastega naboja q v elektrostatičnem polju je enako zmanjšanju potencialne energije tega naboja v polju:
dA= - dW P in A 12 = - DW P = W P1 - W P2,
Kje W P1 in W P2- vrednosti potencialne energije naboja q na 1. in 2. točki polja. Energijska značilnost elektrostatičnega polja je njegov potencial.
potencial elektrostatično polje je skalarna fizikalna količina j, enako potencialni energiji W P pozitiven enotski točkovni naboj, postavljen na obravnavano točko polja, V.
Potencial polja točkastega naboja q v vakuumu
Načelo superpozicije za potencial
tiste. Pri uporabi elektrostatičnih polj se njihovi potenciali algebraično seštevajo.
Potencial električnega dipolnega polja v točki C (slika 1.2)
Če so naboji neprekinjeno porazdeljeni v prostoru, potem potencial j njihova polja v vakuumu:
Integracija se izvede za vse naboje, ki tvorijo obravnavani sistem.
delo A 12, ki ga dosežejo sile elektrostatičnega polja pri premikanju točkastega naboja q iz 1. točke polja (potencial j 1) do točke 2 (potencial j 2):
A 12 = q (j 1 - j 2).
če j 2= 0, potem .
potencial katera koli točka v elektrostatičnem polju je številčno enaka delu, ki ga opravijo poljske sile pri premikanju pozitivnega enotskega naboja od dane točke do točke v polju, kjer se domneva, da je potencial enak nič.
Pri proučevanju elektrostatičnih polj na določenih točkah so pomembne razlike, ne pa absolutne vrednosti potencialov na teh točkah. Zato je izbira točke z ničelnim potencialom določena le s priročnostjo reševanja tega problema. Razmerje med potencialom in napetostjo ima obliko
E x = , Ej = , E z= in ,
tiste. elektrostatična poljska jakost je po velikosti enaka potencialnemu gradientu in v nasprotni smeri.
Geometrična lokacija točk elektrostatičnega polja, na katerih so potencialne vrednosti enake, se imenuje ekvipotencialna površina . Če je vektor usmerjen tangentno na ekvipotencialno površino, potem In . To pomeni, da je vektor jakosti v vsaki točki pravokoten na ekvipotencialno površino, tj. E = E n.
1.5. Primeri uporabe Gaussovega izreka pri izračunu elektrostatičnih polj s >0) ali nanj (če s < 0).
Za vse terenske točke
Ker in ob predpostavki, da je potencial polja enak nič v točkah naelektrene ravnine ( X= 0), dobimo
Grafi odvisnosti E in j od x so prikazani na sl. 1.6.
Ena od nalog, ki si jih postavlja elektrostatika, je ocena parametrov polja za dano stacionarno porazdelitev nabojev v prostoru. In načelo superpozicije je ena od možnosti za rešitev takšnega problema.
Načelo superpozicije
Predpostavimo prisotnost treh točkovnih nabojev, ki medsebojno delujejo. S pomočjo eksperimenta je mogoče izmeriti sile, ki delujejo na vsakega od nabojev. Da bi našli skupno silo, s katero dva druga naboja delujeta na en naboj, morate sešteti sili vsakega od teh dveh v skladu s pravilom paralelograma. V tem primeru je logično vprašanje: ali so izmerjene sile, ki delujejo na vsakega od nabojev, in celota sil iz drugih dveh nabojev med seboj enake, če so sile izračunane po Coulombovem zakonu. Rezultati raziskav kažejo pozitiven odgovor na to vprašanje: izmerjena sila je res enaka vsoti izračunanih sil po Coulombovem zakonu na strani drugih nabojev. Ta sklep je zapisan v obliki niza izjav in se imenuje princip superpozicije.
Definicija 1
Načelo superpozicije:
- sila interakcije med dvema točkastima nabojema se ne spremeni, če so prisotni drugi naboji;
- sila, ki deluje na točkasti naboj iz dveh drugih točkastih nabojev, je enaka vsoti sil, ki delujejo nanj iz vsakega točkastega naboja v odsotnosti drugega.
Načelo superpozicije nabojnih polj je eden od temeljev za preučevanje takega pojava, kot je elektrika: njegov pomen je primerljiv s pomenom Coulombovega zakona.
V primeru, ko govorimo o nizu nabojev N (tj. več virov polja), je skupna sila, ki jo doživlja preskusni naboj q, se lahko določi s formulo:
F → = ∑ i = 1 N F i a → ,
kjer je F i a → sila, s katero vpliva na naboj q napolniti q i, če ni drugega naboja N - 1.
Z uporabo principa superpozicije z uporabo zakona interakcije med točkastimi naboji je mogoče določiti silo interakcije med naboji, ki so prisotni na telesu končnih dimenzij. V ta namen se vsak naboj razdeli na majhne naboje d q (šteli jih bomo za točkaste naboje), ki jih nato vzamemo v parih; izračuna se interakcijska sila in na koncu se izvede vektorski seštevek dobljenih sil.
Terenska interpretacija principa superpozicije
Definicija 2Terenska interpretacija: Poljska jakost dveh točkastih nabojev je vsota intenzitet, ki jih ustvari vsak naboj v odsotnosti drugega.
Za splošne primere ima načelo superpozicije glede na napetosti naslednji zapis:
E → = ∑ E i → ,
kjer je E i → = 1 4 π ε 0 q i ε r i 3 r i → intenziteta i-tega točkastega naboja, r i → je polmer vektorja, ki poteka od i-tega naboja do določene točke v prostoru. Ta formula nam pove, da je poljska jakost poljubnega števila točkastih nabojev vsota poljskih jakosti vsakega točkastega naboja, če ni drugih.
Inženirska praksa potrjuje skladnost z načelom superpozicije tudi pri zelo visokih poljskih jakostih.
Polja v atomih in jedrih imajo pomembno jakost (reda 10 11 - 10 17 V m), vendar je tudi v tem primeru za izračun energijskih nivojev uporabljen princip superpozicije. V tem primeru so rezultati izračunov z veliko natančnostjo sovpadali z eksperimentalnimi podatki.
Vendar je treba tudi opozoriti, da v primeru zelo majhnih razdalj (približno 10 - 15 m) in izjemno močnih polj načelo superpozicije verjetno ni izpolnjeno.
Primer 1
Na primer, na površini težkih jeder pri jakosti reda ~ 10 22 V m je izpolnjen princip superpozicije, pri jakosti 10 20 V m pa nastanejo kvantomehanske nelinearnosti interakcije.
Kadar je porazdelitev naboja zvezna (tj. ni potrebe po upoštevanju diskretnosti), je skupna poljska jakost podana s formulo:
E → = ∫ d E → .
V tem vnosu je integracija izvedena v območju porazdelitve naboja:
- ko so naboji porazdeljeni vzdolž črte (τ = d q d l - linearna gostota porazdelitve naboja), se integracija izvede vzdolž črte;
- ko so naboji porazdeljeni po površini (σ = d q d S - površinska gostota porazdelitve), se integracija izvaja po površini;
- z volumetrično porazdelitvijo naboja (ρ = d q d V - volumetrična gostota porazdelitve) se integracija izvaja po volumnu.
Načelo superpozicije omogoča iskanje E → za katero koli točko v prostoru za znano vrsto prostorske porazdelitve naboja.
Primer 2Podani so enaki točkasti naboji q, ki se nahajajo na ogliščih kvadrata s stranico a. Ugotoviti je treba, s kakšno silo na vsak naboj delujejo ostali trije naboji.
rešitev
Na sliki 1 prikazujemo sile, ki vplivajo na katerega koli od danih nabojev v ogliščih kvadrata. Ker je v pogoju navedeno, da so naboji enaki, je možno za ponazoritev izbrati kateregakoli izmed njih. Zapišimo seštevalno silo, ki vpliva na naboj q 1:
F → = F 12 → + F 14 → + F 13 → .
Sili F 12 → in F 14 → sta po velikosti enaki, definiramo ju takole:
F 13 → = k q 2 2 a 2 .
risanje 1
Zdaj nastavimo smer osi O X (slika 1), oblikujmo enačbo F → = F 12 → + F 14 → + F 13 →, vanjo nadomestimo zgoraj dobljene module sile in nato:
F = 2 k q 2 a 2 · 2 2 + k q 2 2 a 2 = k q 2 a 2 2 2 + 1 2 .
odgovor: sila, ki deluje na vsakega od danih nabojev, ki se nahajajo na ogliščih kvadrata, je enaka F = k q 2 a 2 2 2 + 1 2.
Primer 3
Podan je električni naboj, enakomerno porazdeljen vzdolž tanke niti (z linearno gostoto τ). Zapisati je treba izraz, ki določa poljsko jakost na razdalji a od konca niti vzdolž njenega nadaljevanja. Dolžina niti - l .
risanje 2
rešitev
Naš prvi korak bo označiti točkovni naboj na niti d q. Sestavimo mu v skladu s Coulombovim zakonom zapis, ki izraža jakost elektrostatičnega polja:
d E → = k d q r 3 r → .
Na dani točki imajo vsi vektorji napetosti isto smer vzdolž osi OX, potem:
d E x = k d q r 2 = d E .
Pogoj problema je, da ima naboj enakomerno porazdeljen vzdolž niti z dano gostoto in zapišemo naslednje:
Nadomestimo ta vnos v prej napisani izraz za jakost elektrostatičnega polja, integriramo in dobimo:
E = k ∫ a l + a τ d r r 2 = k τ - 1 r a l + a = k τ l a (l + a) .
odgovor: Jakost polja na navedeni točki bo določena s formulo E = k τ l a (l + a) .
Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter
Načelo superpozicije
Recimo, da imamo tritočkovne naboje. Ti naboji medsebojno delujejo. Lahko izvedete poskus in izmerite sile, ki delujejo na vsak naboj. Da bi našli skupno silo, s katero drugi in tretji delujeta na en naboj, je treba sešteti sili, s katerimi deluje vsak od njiju po pravilu paralelograma. Postavlja se vprašanje, ali je izmerjena sila, ki deluje na vsakega od nabojev, enaka vsoti sil, s katerimi delujeta druga dva, če sili izračunamo po Coulombovem zakonu. Raziskave so pokazale, da je izmerjena sila enaka vsoti izračunanih sil po Coulombovem zakonu na delu dveh nabojev. Ta empirični rezultat je izražen v obliki izjav:
- sila interakcije med dvema točkastima nabojema se ne spremeni, če so prisotni drugi naboji;
- sila, ki deluje na točkasti naboj iz dveh točkastih nabojev, je enaka vsoti sil, ki delujejo nanj iz vsakega točkastega naboja v odsotnosti drugega.
Ta izjava se imenuje načelo superpozicije. To načelo je eden od temeljev doktrine elektrike. Pomemben je tako kot Coulombov zakon. Njegova posplošitev na primer številnih nabojev je očitna. Če obstaja več virov polja (število nabojev N), potem lahko posledično silo, ki deluje na preskusni naboj q, najdemo kot:
\[\overrightarrow(F)=\sum\limits^N_(i=1)(\overrightarrow(F_(ia)))\left(1\desno),\]
kjer je $\overrightarrow(F_(ia))$ sila, s katero naboj $q_i$ deluje na naboj q, če ni drugih nabojev N-1.
Načelo superpozicije (1) omogoča z uporabo zakona interakcije med točkovnimi naboji izračunati silo interakcije med naboji, ki se nahajajo na telesu končnih dimenzij. Da bi to naredili, je treba vsakega od nabojev razdeliti na majhne naboje dq, ki jih lahko štejemo za točkovne naboje, jih vzeti v parih, izračunati interakcijsko silo in izvesti vektorski dodatek nastalih sil.
Terenska interpretacija principa superpozicije
Načelo superpozicije ima poljsko razlago: poljska jakost dveh točkastih nabojev je enaka vsoti intenzitet, ki jih ustvari vsak od nabojev, če drugega ni.
Na splošno lahko načelo superpozicije glede na napetosti zapišemo takole:
\[\overrightarrow(E)=\sum(\overrightarrow(E_i))\left(2\desno).\]
kjer je $(\overrightarrow(E))_i=\frac(1)(4\pi (\varepsilon )_0)\frac(q_i)(\varepsilon r^3_i)\overrightarrow(r_i)\ $ intenzivnost i-ti točkovni naboj, $\overrightarrow(r_i)\ $ je polmerni vektor, narisan od i-tega naboja do točke v prostoru. Izraz (1) pomeni, da je poljska jakost poljubnega števila točkastih nabojev enaka vsoti poljskih jakosti vsakega od točkastih nabojev, če drugih ni.
Inženirska praksa je potrdila, da se princip superpozicije upošteva do zelo visokih poljskih jakosti. Polja v atomih in jedrih imajo zelo velike jakosti (razreda $(10)^(11)-(10)^(17)\frac(B)(m)$), vendar tudi zanje velja načelo superpozicije je bil uporabljen pri izračunu energijskih nivojev atomov in računski podatki so z veliko natančnostjo sovpadali z eksperimentalnimi podatki. Vendar je treba opozoriti, da pri zelo majhnih razdaljah (vrste $\sim (10)^(-15)m$) in izjemno močnih poljih načelo superpozicije morda ne drži. Tako na primer na površini težkih jeder moči dosežejo velikost $\sim (10)^(22)\frac(V)(m)$, načelo superpozicije je izpolnjeno, vendar pri jakosti $(10 )^(20)\frac(V )(m)$ nastanejo kvantno-mehanske nelinearnosti interakcij.
Če je naboj porazdeljen zvezno (diskretnosti ni treba upoštevati), se skupna poljska jakost ugotovi kot:
\[\desna puščica(E)=\int(d\desna puščica(E))\ \levo(3\desno).\]
V enačbi (3) se integracija izvaja po območju porazdelitve naboja. Če so naboji porazdeljeni vzdolž premice ($\tau =\frac(dq\ )(dl)-linearno\ gostota\ porazdelitev\ naboj$), se integracija v (3) izvede vzdolž premice. Če so naboji porazdeljeni po površini in je površinska gostota porazdelitve $\sigma =\frac(dq\ )(dS)$, potem integrirajte po površini. Če imamo opravka z volumetrično porazdelitvijo naboja, se integracija izvaja po volumnu: $\rho =\frac(dq\ )(dV)$, kjer je $\rho$ gostota volumetrične porazdelitve naboja.
Načelo superpozicije načeloma omogoča določitev $\overrightarrow(E)$ za katero koli točko v prostoru iz znane prostorske porazdelitve naboja.
Primer 1
Naloga: V ogliščih kvadrata s stranico a se nahajajo enaki točkasti naboji q. Določite silo, s katero na vsak naboj delujejo ostali trije naboji.
Upodabljajmo sile, ki delujejo na enega od nabojev na vrhu kvadrata (izbira ni pomembna, saj so naboji enaki) (slika 1). Rezultantno silo, ki deluje na naboj $q_1$, zapišemo kot:
\[\puščica naddesno(F)=(\puščica naddesno(F))_(12)+(\puščica naddesno(F))_(14)+(\puščica naddesno(F))_(13)\ \levo(1,1\desno ).\]
Sili $(\overrightarrow(F))_(12)$ in $(\overrightarrow(F))_(14)$ sta enaki po velikosti in ju je mogoče najti kot:
\[\levo|(\overrightarrow(F))_(12)\desno|=\left|(\overrightarrow(F))_(14)\desno|=k\frac(q^2)(a^2 )\ \levo(1.2\desno),\]
kjer je $k=9 (10)^9\frac(Nm^2)((C)^2).$
Našli bomo modul sile $(\overrightarrow(F))_(13)$, tudi po Coulombovem zakonu, saj vemo, da je diagonala kvadrata enaka:
torej imamo:
\[\levo|(\overrightarrow(F))_(13)\desno|=k\frac(q^2)(2a^2)\ \levo(1,4\desno)\]
Usmerimo os OX, kot je prikazano na sl. 1, projiciramo enačbo (1.1), nadomestimo nastale module sile, dobimo:
Odgovor: Sila, ki deluje na vsakega od nabojev v ogliščih kvadrata, je enaka: $F=\frac(kq^2)(a^2)\left(\frac(2\sqrt(2)+1) (2)\desno) .$
Primer 2
Naloga: Električni naboj je enakomerno porazdeljen vzdolž tanke niti z enakomerno linearno gostoto $\tau$. Poiščite izraz za poljsko jakost na razdalji $a$ od konca niti vzdolž njenega nadaljevanja. Dolžina niti je $l$.
Izberimo točkovni naboj $dq$ na niti in mu iz Coulombovega zakona zapišimo izraz za elektrostatično poljsko jakost:
Na dani točki so vsi vektorji napetosti usmerjeni enako vzdolž osi X, zato imamo:
Ker je naboj glede na pogoje problema enakomerno porazdeljen po niti z linearno gostoto $\tau $, lahko zapišemo naslednje:
Zamenjajmo (2.4) v enačbo (2.1) in integrirajmo:
Odgovor: Jakost polja niti na navedeni točki se izračuna po formuli: $E=\frac(k\tau l)(a(l+a)).$
Princip superpozicije (prekrivanja) polj je formuliran na naslednji način:
Če na določeni točki v prostoru različni nabiti delci ustvarjajo električna polja, katerih jakosti itd., potem je rezultantna poljska jakost na tej točki enaka: .
Načelo poljske superpozicije velja za primer, ko polja, ki jih ustvarja več različnih nabojev, medsebojno ne vplivajo, to pomeni, da se obnašajo, kot da drugih polj ni. Izkušnje kažejo, da se za polja običajnih intenzitet, ki jih najdemo v naravi, to dejansko zgodi.
Zahvaljujoč načelu superpozicije je za iskanje poljske jakosti sistema nabitih delcev na kateri koli točki dovolj uporabiti izraz za poljsko jakost točkovnega naboja.
Spodnja slika prikazuje, kako na točki A se določi poljska jakost, ki jo ustvarita dva točkasta naboja q 1 in q 2.
Električne silnice.
Električno polje v prostoru običajno predstavljamo s silnicami. Koncept silnice je uvedel M. Faraday med preučevanjem magnetizma. Ta koncept je nato razvil J. Maxwell v svojih raziskavah elektromagnetizma.
Črta sile ali črta električne poljske jakosti je črta, katere tangenta na vsako njeno točko sovpada s smerjo sile, ki deluje na pozitivni točkovni naboj, ki se nahaja na tej točki polja.
Spodnje slike prikazujejo napetostne črte pozitivno nabite krogle (slika 1); dve različno nabiti krogli (slika 2); dve podobno nabiti krogli (slika 3) in dve plošči, nabiti z naboji različnih predznakov, vendar enaki v absolutni vrednosti (slika 4).
Natezne črte na zadnji sliki so v prostoru med ploščama skoraj vzporedne, njihova gostota pa je enaka. To nakazuje, da je polje v tem območju prostora enotno. Električno polje se imenuje homogeno, če je njegova jakost na vseh točkah prostora enaka.
V elektrostatičnem polju silnice niso zaprte, vedno se začnejo na pozitivnih nabojih in končajo na negativnih nabojih. Nikjer se ne sekata; presečišče silnic polja bi kazalo na negotovost smeri jakosti polja v presečišču. Gostota poljskih črt je večja v bližini naelektrenih teles, kjer je poljska jakost večja.
Polje naelektrene kroglice.
Polje jakosti naelektrene prevodne krogle na razdalji od središča krogle, ki presega njen polmer r ≥
R. je določena z isto formulo kot polja točkastega naboja 
. To dokazuje porazdelitev poljskih črt (sl. A), podobno kot porazdelitev intenzitetnih črt točkovnega naboja (sl. b).
Naboj krogle je enakomerno porazdeljen po njeni površini. Znotraj prevodne krogle je jakost polja enaka nič.
