> Суперпозиция полей
Рассмотрите принцип суперпозиции электрических полей: определение, формулировка и закон суперпозиции полей. Читайте о роли векторных полей и сложении векторов.
Когда множество электрических полей влияют на одну точку, мы получаем сумму прилагаемой силы каждого поля.
Задача обучения
- Вывести принцип суперпозиции для линейной системы.
Основные пункты
- Принцип суперпозиции: у всех линейных систем чистая реакция на несколько раздражителей в конкретном месте и времени равна сумме реакций на каждый индивидуальный стимул.
- Возможные стимулы не ограничиваются числами, функциями, векторами, векторными полями или меняющимися во времени сигналами.
- Принцип суперпозиции можно использовать к любой линейной системе, например, алгебраические формулы, линейные дифференциальные уравнения и их комбинирование.
- Электрические поля – непрерывные поля векторов, так что в конкретной точке можно обнаружить силы и приплюсовать их.
Термины
- Принцип суперпозиции: линейная комбинация двух или больше решений уравнений сама по себе выступает решением.
- Ортогональные – перпендикулярны друг другу.
- Вектор – ориентированное количество с величиной и направлением.
Если мы говорим о векторных полях, то они подчиняются принципу суперпозиции полей: у всех линейных систем чистая реакция на несколько раздражителей в конкретном месте и времени равна сумме реакций на каждый индивидуальный стимул.
Возможные стимулы не ограничиваются числами, функциями, векторами, векторными полями или меняющимися во времени сигналами. Важно отметить, что закон суперпозиции полей можно использовать на любой линейной системе, включая алгебраические формулы, линейные дифференциальные уравнения и их комбинирование.
К примеру, если силы А и В стабильны и одновременно влияют на тело, то результирующая сила будет их суммой. Векторное сложение – коммутативное, так что добавление сил не повлияет на результирующий вектор. Это также относится и к вычитанию векторов.
Сила a и b влияет на объект в точке О. Их сумма коммутативна и выводит на результат с
Электрические поля – непрерывные поля векторов, поэтому в конкретной точке можно отыскать силы, которые будут применяться к тестовому заряду, и приплюсовать их, чтобы вывести результат. Для начала нужно получить все компонентные векторы силы на каждой из ортодоксальных осей. Для этого можно использовать тригонометрические функции. Далее добавьте их по каждой оси.
Это единственная форма решения задачи. Для обнаружения полного результирующего вектора можно использовать теорему Пифагора (гипотенуза треугольника, созданного приложенными силами в виде ног) и угол относительно конкретной оси, приравняв обратную касательную угла к соотношению силы смежных и противоположных ног.
Пусть имеются два заряженных макроскопических тела, размеры которых пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием между ними. В этом случае каждое тело можно считать материальной точкой или «точечным зарядом».
Французский физик Ш. Кулон (1736–1806) экспериментально установил закон, носящий его имя (закон Кулона ) (рис. 1.5):
Рис. 1.5. Ш. Куло́н (1736–1806) - французский инженер и физик
|
В вакууме сила взаимодействия двух неподвижных точечных зарядов пропорциональна величине каждого из зарядов, обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними и направлена по прямой, соединяющей эти заряды:
|
На рис. 1.6 показаны электрические силы отталкивания, возникающие между двумя одноименными точечными зарядами.
Рис. 1.6. Электрические силы отталкивания между двумя одноименными точечными зарядами
Напомним, что , где и - радиус-векторы первого и второго зарядов, поэтому силу, действующую на второй заряд в результате его электростатического - «кулоновского» взаимодействия с первым зарядом можно переписать в следующем «развернутом» виде
Отметим следующее, удобное при решении задач, правило: если первым индексом у силы ставить номер того заряда, на который действует эта сила, а вторым – номер того заряда, который создает эту силу, то соблюдение того же порядка индексов в правой части формулы автоматически обеспечивает правильное направление силы - соответствующее знаку произведения зарядов: - отталкивание и - притяжение, при этом коэффициент всегда.
Для измерения сил, действующих между точечными зарядами, был использован созданный Кулоном прибор, называемый крутильными весами (рис. 1.7, 1.8).
Рис. 1.7. Крутильные весы Ш. Кулона (рисунок из работы 1785 г.). Измерялась сила, действующая между заряженными шарами a и b
Рис. 1.8. Крутильные весы Ш. Кулона (точка подвеса)
На тонкой упругой нити подвешено легкое коромысло, на одном конце которого укреплен металлический шарик, а на другом - противовес. Рядом с первым шариком можно расположить другой такой же неподвижный шарик. Стеклянный цилиндр защищает чувствительные части прибора от движения воздуха.
Чтобы установить зависимость силы электростатического взаимодействия от расстояния между зарядами, шарикам сообщают произвольные заряды, прикасаясь к ним третьим заряженным шариком, укрепленным на ручке из диэлектрика. По углу закручивания упругой нити можно измерить силу отталкивания одноименно заряженных шариков, а по шкале прибора - расстояние между ними.
Надо сказать, что Кулон не был первым ученым, установившим закон взаимодействия зарядов, носящий теперь его имя: за 30 лет до него к такому же выводу пришел Б. Франклин. Более того, точность измерений Кулона уступала точности ранее проведенных экспериментов (Г. Кавендиш).
Чтобы ввести количественную меру для определения точности измерений, предположим, что на самом деле сила взаимодействия зарядов обратна не квадрату расстояния между ними, а какой-то другой степени:
Никто из ученых не возьмется утверждать, что d = 0 точно. Правильное заключение должно звучать так: эксперименты показали, что d не превышает...
Результаты некоторых из этих экспериментов приведены в таблице 1.
Таблица 1.
Результаты прямых экспериментов по проверке закона Кулона
Сам Шарль Кулон проверил закон обратных квадратов с точностью до нескольких процентов. В таблице приведены результаты прямых лабораторных экспериментов. Косвенные данные, основанные на наблюдениях магнитных полей в космическом пространстве, приводят к еще более сильным ограничениям на величину d . Таким образом, закон Кулона можно считать надежно установленным фактом.
В СИ единица силы тока (ампер ) является основной, следовательно, единица заряда q оказывается производной. Как мы увидим в дальнейшем, сила тока I определяется как отношение заряда , протекающего через поперечное сечение проводника за время , к этому времени:
Отсюда видно, что сила постоянного тока численно равна заряду, протекающему через поперечное сечение проводника за единицу времени, соответственно этому:
Коэффициент пропорциональности в законе Кулона записывается в виде:
При такой форме записи из эксперимента следует значение величины , которую принято называть электрической постоянной . Приближенное численное значение электрической постоянной следующее:
Поскольку чаще всего входит в уравнения в виде комбинации
приведём численное значение самого коэффициента
Как и в случае элементарного заряда, численное значение электрической постоянной определено экспериментально с высокой точностью:
Кулон - слишком большая единица для использования на практике. Например, два заряда в 1 Кл каждый, расположенные в вакууме на расстоянии 100 м друг от друга, отталкиваются с силой
Для сравнения: с такой силой давит на землю тело массой
Это примерно масса грузового железнодорожного вагона, например, с углем.
Принцип суперпозиции полей
Принцип суперпозиции представляет собой утверждение, согласно которому результирующий эффект сложного процесса воздействия представляет собой сумму эффектов, вызываемых каждым воздействием в отдельности, при условии, что последние взаимно не влияют друг на друга (Физический энциклопедический словарь, Москва, «Советская энциклопедия», 1983, стр. 731). Экспериментально установлено, что принцип суперпозиции справедлив для рассматриваемого здесь электромагнитного взаимодействия.
В случае взаимодействия заряженных тел принцип суперпозиции проявляет себя следующим образом: сила, с которой данная система зарядов действует на некоторый точечный заряд, равна векторной сумме сил, с которыми действует на него каждый из зарядов системы.
Поясним это на простом примере. Пусть имеются два заряженных тела, действующие на третье с силами и соответственно. Тогда система из этих двух тел - первого и второго - действует на третье тело с силой
Это правило справедливо для любых заряженных тел, не только для точечных зарядов. Силы взаимодействия двух произвольных систем точечных зарядов вычисляются в Дополнении 1 в конце этой главы.
Отсюда следует, что электрическое поле системы зарядов определяется векторной суммой напряженностей полей, создаваемых отдельными зарядами системы, т. е.
Сложение напряженностей электрических полей по правилу сложения векторов выражает так называемый принцип суперпозиции (независимого наложения) электрических полей. Физический смысл этого свойства заключается в том, что электростатическое поле создается только покоящимися зарядами. Значит, поля различных зарядов «не мешают» друг другу, и поэтому суммарное поле системы зарядов можно подсчитать как векторную сумму полей от каждого из них в отдельности.
Так как элементарный заряд весьма мал, а макроскопические тела содержат очень большое количество элементарных зарядов, то распределение зарядов по таким телам в большинстве случаев можно считать непрерывным. Для того чтобы описать как именно распределен (однородно, неоднородно, где зарядов больше, где их меньше и т. п.) заряд по телу введем плотности заряда следующих трех видов:
· объемная плотность заряда :
где dV - физически бесконечно малый элемент объема;
· поверхностная плотность заряда :
где dS - физически бесконечно малый элемент поверхности;
· линейная плотность заряда :
где - физически бесконечно малый элемент длины линии.
Здесь всюду - заряд рассматриваемого физически бесконечно малого элемента (объема, участка поверхности, отрезка линии). Под физически бесконечно малым участком тела здесь и ниже понимается такой его участок, который, с одной стороны, настолько мал, что в условиях данной задачи, его можно считать материальной точкой, а, с другой стороны, он настолько велик, что дискретностью заряда (см. соотношение) этого участка можно пренебречь.
Общие выражения для сил взаимодействия систем непрерывно распределенных зарядов приведены в Дополнении 2 в конце главы.
Пример 1. Электрический заряд 50 нКл равномерно распределен по тонкому стержню длиной 15 см. На продолжении оси стержня на расстоянии 10 см от ближайшего его конца находится точечный заряд 100 нКл (рис. 1.9). Определить силу взаимодействия заряженного стержня и точечного заряда.
Рис. 1.9. Взаимодействие заряженного стержня с точечным зарядом
Решение. В этой задаче силу F нельзя определить, написав закон Кулона в форме или (1.3). В самом деле, чему равно расстояние между стержнем и зарядом: r , r + a /2, r + a ? Поскольку по условиям задачи мы не имеем права считать, что a << r , применение закона Кулона в его исходной формулировке, справедливой только для точечных зарядов невозможно, необходимо использовать стандартный для таких ситуаций приём, который состоит в следующем.
|
Если известна сила взаимодействия точечных тел (например, закон Кулона) и необходимо найти силу взаимодействия протяженных тел (например, вычислить силу взаимодействия двух заряженных тел конечных размеров), то необходимо разбить эти тела на физически бесконечно малые участки, написать для каждой пары таких «точечных» участков известное для них соотношение и, воспользовавшись принципом суперпозиции, просуммировать (проинтегрировать) по всем парам этих участком. |
Всегда полезно, если не сказать - необходимо, прежде чем приступать к конкретизации и выполнению расчета, проанализировать симметрию задачи. С практической точки зрения такой анализ полезен тем, что, как правило, при достаточно высокой симметрии задачи, резко сокращает число величин, которые надо вычислять, поскольку выясняется, что многие из них равны нулю.
Разобьём стержень на бесконечно малые отрезки длиной , расстояние от левого конца такого отрезка до точечного заряда равно .
Равномерность распределения заряда по стержню означает, что линейная плотность заряда постоянна и равна
Следовательно, заряд отрезка равен 
, откуда, в соответствии с законом Кулона, сила, действующая на точечный
заряд q
в результате его взаимодействия с точечным
зарядом , равна
В результате взаимодействия точечного заряда q со всем стержнем , на него будет действовать сила
Подставляя сюда численные значения, для модуля силы получаем:
Из (1.5) видно, что при , когда стержень можно считать материальной точкой, выражение для силы взаимодействия заряда и стержня, как и должно быть, принимает обычную форму закона Кулона для силы взаимодействия двух точечных зарядов:
Пример 2. Кольцо радиусом несет равномерно распределенный заряд . Какова сила взаимодействия кольца с точечным зарядом q , расположенным на оси кольца на расстоянии от его центра (рис. 1.10).
Решение.
По условию, заряд равномерно распределен на кольце радиусом . Разделив на длину окружности, получим линейную плотность заряда на кольце 
Выделим на кольце элемент длиной . Его заряд равен 
.
Рис. 1.10. Взаимодействия кольца с точечным зарядом
В точке q этот элемент создает электрическое поле
Нас интересует лишь продольная компонента поля, ибо при суммировании вклада от всех элементов кольца только она отлична от нуля:
Интегрируя по находим электрическое поле на оси кольца на расстоянии от его центра:
Отсюда находим искомую силу взаимодействия кольца с зарядом q :
|
|
Обсудим полученный результат. При больших расстояниях до кольца величиной радиуса кольца под знаком радикала можно пренебречь, и мы получаем приближенное выражение
Это не удивительно, так как на больших расстояниях кольцо выглядит точечным зарядом и сила взаимодействия дается обычным законом Кулона. На малых расстояниях ситуация резко меняется. Так, при помещении пробного заряда q в центр кольца сила взаимодействия равна нулю. Это тоже не удивительно: в этом случае заряд q притягивается с равной силой всеми элементами кольца, и действие всех этих сил взаимно компенсируется.
Поскольку при и при электрическое поле равно нулю, где-то при промежуточном значении электрическое поле кольца максимально. Найдем эту точку, дифференцируя выражение для напряженности Е по расстоянию
|
|
Приравнивая производную нулю, находим точку где поле максимально. Оно равно в этой точке
Пример 3. Две взаимно перпендикулярные бесконечно длинные нити, несущие равномерно распределенные заряды с линейными плотностями и находятся на расстоянии а друг от друга (рис. 1.11). Как зависит сила взаимодействия между нитями от расстояния а ?
Решение. Сначала обсудим решение этой задачи методом анализа размерностей. Сила взаимодействия между нитями может зависеть от плотностей заряда на них, расстояния между нитями и электрической постоянной, то есть искомая формула имеет вид:
|
|
где - безразмерная постоянная (число). Заметим, что вследствие симметричного расположения нитей плотности заряда на них могут входить только симметричным же образом, в одинаковых степенях. Размерности входящих сюда величин в СИ известны:
|
|
Рис. 1.11. Взаимодействие двух взаимно перпендикулярных бесконечно длинных нитей
По сравнению с механикой здесь появилась новая величина - размерность электрического заряда. Объединяя две предыдущие формулы, получаем уравнение для размерностей:
Напряженность электрического поля, создаваемого системой зарядов в данной точке пространства, равна векторной сумме напряженностей электрических полей, создаваемых в той же точке зарядами в отдельности:
→ n → → →
Е = Σ Еi = Е 1 + Е 2 + …
Потенциал поля системы зарядов равен алгебраической сумме потенциалов в каждой точке по отдельности:
φ = Σ φi = φ 1 + φ 2 + …
Эти свойства электрического поля означает, что поле подчиняется принципу суперпозиции.
Теорема Гаусса и её применение для расчёта напряжённости электрического поля бесконечной равномерно заряженной плоскости, двух и более плоскостей; бесконечной равномерно заряженной нити, цилиндра; равномерно заряженной сферы, объёмно заряженного шара.
Теорема Гаусса : Поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, поделенной на электрическую постоянную ε 0 .
Ф = ∫ Еп ds = 1/ ε 0 Σ qi
1.Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости . Бесконечная плоскость (рис. 1) заряжена с постоянной поверхностной плотностью +σ (σ = dQ/dS - заряд, который приходится на единицу поверхности). Линии напряженности перпендикулярны данной плоскости и направлены от нее в каждую из сторон. Возьмем в качестве замкнутой поверхности цилиндр, основания которого параллельны заряженной плоскости, а ось перпендикулярна ей. Так как образующие цилиндра параллельны линиям напряженности поля (соsα=0), то поток вектора напряженности сквозь боковую поверхность цилиндра равен нулю, а полный поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь его основания (площади оснований равны и для основания Е n совпадает с Е), т. е. равен 2ES. Заряд, который заключен внутри построенной цилиндрической поверхности, равен σ∙S. Согласно теореме Гаусса, 2E∙S= σ ∙S/ε 0 , откуда
2.Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей (рис. 2). Пусть плоскости заряжены равномерно разными по знаку зарядами с поверхностными плотностями +σ и –σ. Поле таких плоскостей будем искать как суперпозицию полей, которые создаются каждой из плоскостей в отдельности. На рисунке верхние стрелки соответствуют полю от положительно заряженной плоскости, нижние - от отрицательно заряженной плоскости. Слева и справа от плоскостей поля вычитаются (поскольку линии напряженности направлены навстречу друг другу), значит здесь напряженность поля E=0. В области между плоскостями E = E+ + E- (E+ и E- находятся по формуле (1)), поэтому результирующая напряженность
3.Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра (нити) . Бесконечный цилиндр радиуса R (рис. 6) равномерно заряжен с линейной плотностью τ (τ = –dQ/dt заряд, который приходится на единицу длины). Из соображений симметрии мы видим, что линии напряженности будут направлены по радиусам круговых сечений цилиндра с одинаковой густотой во все стороны относительно оси цилиндра. Мысленно построим в качестве замкнутой поверхности коаксиальный цилиндр радиуса r и высотой l . Поток вектора Е сквозь торцы коаксиального цилиндра равен нулю (торцы и линии напряженности параллельны), а сквозь боковую поверхность равен 2πrl Е. Используя теорему Гаусса, при r>R 2πrl Е = τl /ε 0 , откуда
Если r 4.Поле равномерно заряженной сферической поверхности
. Сферическая поверхность радиуса R с общим зарядом Q заряжена равномерно с поверхностной плотностью
+σ. Т.к. заряд распределен равномерно по поверхности то поле, которое создается им, обладает сферической симметрией. Значит линии напряженности направлены радиально (рис. 3). Проведем мысленно сферу радиуса r, которая имеет общий центр с заряженной сферой. Если r>R,ro внутрь поверхности попадает весь заряд Q, который создает рассматриваемое поле, и, по теореме Гаусса, 4πr 2 E = Q/ε 0 , откуда При r>R поле убывает с расстоянием r по такому же закону, как у точечного заряда. График зависимости Е от r приведен на рис. 4. Если r" 5.Поле объемно заряженного шара
. Шар радиуса R с общим зарядом Q заряжен равномерно с объемной плотностью
ρ (ρ = dQ/dV – заряд, который приходится на единицу объема). Учитывая соображения симметрии, аналогичные п.3, можно доказать, что для напряженности поля вне шара получится тот же результат, что и в случае (3). Внутри же шара напряженность поля будет иная. Сфера радиуса r" Значит, напряженность поля вне равномерно заряженного шара описывается формулой (3), а внутри его изменяется линейно с расстоянием r" согласно зависимости (4). График зависимости Е от r для рассмотренного случая показан на рис. 5. Если электрическое поле создано одним точечным зарядом q
, то напряженность этого поля в какой-либо точке, отстоящей на расстоянии r
от заряда равна, согласно закону Кулона: и направлена вдоль прямой, соединяющей заряд с этой точкой. Таким образом, напряженность поля точечного заряда изменяется по мере удаления от заряда обратно пропорционально квадрату расстояния. При положительном заряде q
поле направлено вдоль радиуса от заряда, при отрицательном q
– вдоль радиуса по направлению к заряду. Посмотрим, чему равна напряженность поля, вызванного двумя точечными зарядами q 1
и q 2
. Пусть E 1
- напряженность поля в некоторой точке А
, вызванная зарядом q 1
(когда заряд q 2
удален), а E 2
– напряженность в той же точке, вызванная зарядом q 2
(когда удален заряд q 1
). Эти величины определяются по формулам: если из точкиА
отложить отрезки, изображающие по модулю и по направлению напряженности
E 1
и
E 2
, и на этих отрезках, как на сторонах построить параллелограмм, то напряженность
E
результирующего поля по модулю и направлению представится диагональю этого параллелограмма
. Это утверждение называется принципом суперпозиции электростатических полей. Справочная информация
: Линии напряженности
– линии, касательные к которым в каждой точке поля совпадают с вектором напряженности электростатического поля в этой точке. Линии напряженности не пересекаются. Положительный заряд является источником линий напряженности; отрицательный заряд является стоком линий напряженности. Модуль вектора напряженности пропорционален степени сгущения линий напряженности электростатического поля. Электрическое поле, векторы напряженности которого одинаковы во всех точках пространства, называется однородным. >>Физика: Напряженность электрического поля. Принцип суперпозиции полей
Недостаточно утверждать, что электрическое поле существует. Надо ввести количественную характеристику поля. После этого электрические поля можно будет сравнивать друг с другом и продолжать изучать их свойства. причем напряженность поля, создаваемая отдельным зарядом, определяется так, как будто других зарядов, создающих поле, не существует. ??? Г.Я.Мякишев, Б.Б.Буховцев, Н.Н.Сотский, Физика 10 класс
Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку,
Опыт показывает, что при совместном действии обоих зарядов напряженность поля в точке А
может быть найдена по правилу параллелограмма:
Правило сложения напряженностей полей аналогично правилу сложения сил в механике. Так же как и в механике, применимость правила параллелограмма означает независимость действия электрических полей. Последовательно применяя правило параллелограмма, можно вычислить напряженность поля не только двух. Но и какого угодно числа точечных зарядов.
Напряженность поля системы зарядов в данной точке равна геометрической (векторной) сумме напряженностей полей, созданных в этой точке каждым зарядом в отдельности:
Электрическое поле обнаруживается по силам, действующим на заряд. Можно утверждать, что мы знаем о поле все, что нам нужно, если будем знать силу, действующую на любой заряд в любой точке поля.
Поэтому надо ввести такую характеристику поля, знание которой позволит определить эту силу.
Если поочередно помещать в одну и ту же точку поля небольшие заряженные тела и измерять силы, то обнаружится, что сила, действующая на заряд со стороны поля, прямо пропорциональна этому заряду. Действительно, пусть поле создается точечным зарядомq 1
. Согласно закону Кулона (14.2) на заряд q 2
действует сила, пропорциональная заряду q 2
. Поэтому отношение силы, действующей на помещаемый в данную точку поля заряд, к этому заряду для каждой точки поля не зависит от заряда и может рассматриваться как характеристика поля. Эту характеристику называютнапряженностью электрического поля. Подобно силе, напряженность поля – векторная величина
; ее обозначают буквой . Если помещенный в поле заряд обозначить через q
вместо q 2
, то напряженность будет равна:
Отсюда сила, действующая на заряд q
со стороны электрического поля, равна:
Напряженность поля точечного заряда.
Найдем напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом q 0
. По закону Кулона этот заряд будет действовать на положительный заряд q
с силой, равной
если в данной точке пространства различные заряженные частицы создают электрические поля, напряженности которых 
и т. д., то результирующая напряженность поля в этой точке равна сумме напряженностей этих полей:
Благодаря принципу суперпозиции для нахождения напряженности поля системы заряженных частиц в любой точке достаточно знать выражение (14.9) для напряженности поля точечного заряда. На рисунке 14.8 показано, как определяется напряженность поля в точке A
, созданная двумя точечными зарядами q 1
и q 2 , q 1 >q 2
1. Что называется напряженностью электрического поля?
2. Чему равна напряженность поля точечного заряда?
3. Как направлена напряженность поля зарядаq 0 , если q 0
>0
? если q 0
<0
?
4. Как формулируется принцип суперпозиции полей?
