Polinomski obroči. Polinomski obroči Polinomski obroč v eni spremenljivki nad poljem

a) “+” je asociativen na K[x]: "f(x),g(x),h(x)Î K[x] (f(x)+g(x))+h(x)=f(x)+(g(x)+h(x))

b) “+” je komutativno na K[x]: "f(x),g(x)Î K[x] f(x)+g(x)=g(x)+f(x)

c) Obstaja 0( x)=0+0⋅x+0⋅x 2 +…+0⋅x n+… Î K[x] tako, da je " О K[x] : =

podobno,

d) "O K[x] obstaja О K[x] tako, da

= 0+0⋅x+0⋅x 2 +…+0⋅x n = 0(x). Prav tako = 0(x).

4. IN K[x]so izpolnjeni distribucijski zakoni:

d) " f(x),g(x),h(x)Î K[x] (f(x)+g(x))⋅h(x)=f(x)⋅h(x)+g(x)⋅h(x)

h(x) ⋅ (f(x)+g(x))=h(x)⋅f(x)+h(x)⋅g(x)

torej K[x] - prstan.

5. Pokažimo toK[x]– asociativno-komutativni obroč z 1.

f) »⋅« je asociativno na K[x]: "f(x),g(x),h(x)Î K[x] (f(x)⋅g(x))⋅h(x)=f(x)⋅(g(x)⋅h(x))

g) “⋅” je komutativno na K[x]: "f(x),g(x)Î K[x] f(x)⋅g(x)=g(x)⋅f(x)

h) B K[x]obstaja enotski polinom 1( x)= 1+0⋅x+0⋅x 2 +…+0⋅x n +…Î K[x]c koeficientov b 0 =1, b i=0 za druge jaz. " Î K[x]

veljavnost a), b), e), f), g) izhaja iz dejstva, da se operaciji “+” in “⋅” na polinomih reducirata na ustrezne operacije na njihovih koeficientih - elementih iz K, in v ringu K“+” in “⋅” sta komutativni, asociativni in distributivni zakoni so izpolnjeni.

Izrek je dokazan.

Stopnja polinoma. Lastnosti stopnje polinoma

2. izrek . Naj bo K neničelni asociativno-komutativni obroč z identiteto, , . Nato:

1) deg(+ max(deg, deg);

Obroč polinomov nad poljem (v nasprotju s primerom polinomov nad obročem) ima številne specifične lastnosti, ki so blizu lastnostim obroča celih števil Z. Deljivost polinomov. Dobro znana metoda deljenja s "kotom" za polinome nad poljem R uporablja samo aritmetične operacije na koeficientih in je zato uporabna za polinome nad poljubnim poljem k. Omogoča, da dva neničelna polinoma p,sk[x] konstruirata polinoma q (nepopoln kvocient) in r (ostanek), tako da je p = q*s +r in bodisi r =0 ali deg(r)< deg(s). Если r =0 , то говорят, что s делит p (или является делителем p) и обозначают это так: s | p. Будем называть многочлен унитарным (или приведенным), если его старший коэффициент равен 1. Определение. Общим наибольшим делителем ненулевых многочленов p и s называется такой унитарный многочлен ОНД(p, s), что 1. ОНД(p, s) | p; ОНД(p, s) | s. 2. q | p, q | s q | ОНД(p, s). По определению, для ненулевого многочлена р со старшим коэффициентом а ОНД (р, 0) = ОНД (0, р) = р/а; ОНД (0, 0)=0. Аналогично определяется ОНД любого числа многочленов. Единственность ОНД двух многочленов непосредственно вытекает из определения. Существование его следует из следующего утверждения. Основная теорема теории делимости (для многочленов). Для любых двух ненулевых многочленов p и q над полем k можно найти такие многочлены u и v над тем же полем, что ОНД(p, q)= u*p+v*q. Доказательство этой теоремы очень похоже на приведенное в лекции доказательство аналогичной теоремы над Z. Все же наметим основные его шаги. Выберем такие многочлены u и v чтобы сумма w= u*p+v*q имела возможно меньшую степень(но была ненулевой!). Можно при этом считать w унитарным многочленом. Проверим, что w | p. Выполняя деление с остатком, получаем: p= s*w+r. Подставляя это равенство в исходное, находим: r = p - s*w =p - s*(u*p+v*q) = (1-s*u)*p+(-s*v)q = U*p + V*q . Если при этом r 0, то deg(r) Замечание. Используя индукцию, можно доказать, что для любого числа многочленов ОНД для подходящих многочленов. Более того, эта формула сохраняется даже для бесконечного множества многочленов, поскольку их ОНД в действительности является ОНД некоторого их конечного подмножества.

Posledica. Vsak ideal v obroču polinomov nad poljem je glavni. Pravzaprav naj bo p GND vseh polinomov, vključenih v ideal I. Potem, pri čemer iz definicije ideala sledi, da je I =(p). Faktorizacija. Naj bo k neko polje, p, q, s polinomi nad k. Če je p=q*s in imata oba polinoma q in s stopnjo manjšo od p, se polinom p imenuje reducibilen (nad poljem k). V nasprotnem primeru je p nezmanjšljiv. Nereducibilni polinom v obroču k[x] je analog praštevila v obroču Z. Jasno je, da je vsak neničelni polinom p= mogoče razširiti v produkt: p= *, kjer so vsi polinomi nereducibilni nad k in imajo vodilni koeficient enak 1. Dokažemo lahko, da je takšna razširitev edinstvena do vrstni red faktorjev. Seveda so lahko med temi dejavniki enaki; take faktorje imenujemo večkratniki. S kombiniranjem več faktorjev lahko isto razširitev zapišemo v obliki: p= 0. Primeri. 1. . Upoštevajte, da so polinomi prve stopnje po definiciji ireduktibilni nad katerim koli poljem. Faktor x je večkratnik, ostalo so praštevila. 2. Polinom je nereducibilen nad poljem Q racionalnih števil. Dejansko, če ()=(x-a)*q, potem z zamenjavo x=a v to enakost dobimo: , kar je nemogoče za katero koli racionalno število a. Enak polinom predstavimo nad poljem R realnih števil: , drugi faktor pa ima negativno diskriminanto in ga zato ni mogoče nadalje razširiti nad R. Končno imamo nad poljem C kompleksnih števil: , kjer je = kubični koren iz 1. V tem primeru vidimo, da je koncept reducibilnosti bistveno odvisen od polja, nad katerim se obravnava polinom. Lastnosti ireduktibilnih polinomov. 1. Če je p nezmanjšljiv polinom in je d = OND(p, q) 1, potem je p | q. Dejansko je p = d*s in če je deg(s)>0, potem je to v nasprotju z ireduktibilnostjo p, in če je deg(s)=0, potem d | qp | q. 2. Če je p | in je p nezmanjšljiv, potem bodisi p | ali p | . Dejansko je sicer gcd(p,) = gcd(p,) =1 in zato po glavnem izreku teorije deljivosti od koder: in to pomeni, da je gcd(p,)=1 in zato deg (p) =0.

PREDAVANJE7.

Obroč polinomov v eni neznanki

Definicija polinoma . Iz šolskega predmeta poznamo problem reševanja enačbe druge stopnje oblike

Kje
. Reševanje enačbe (7.1) pomeni iskanje takšne vrednosti neznanke , ki, ko ga zamenjamo v enačbo ( predikat ) (7.1) ga spremeni v numerično identiteto ( v resnično izjavo ).

Primer 7.1. Poiščite resničnostni niz predikata

.

Rešitev. Razmislite o identični transformaciji desne strani podanega predikata:

.

Če zadnji izraz enačimo z nič, dobimo formulo

,

ki daje vrednosti neznank, ki obrnejo predikat
v resnično izjavo. Zato je resnica postavljena predikat
na splošno je sestavljen iz dveh elementov

,

vrednosti, ki se izračunajo preko vrednosti koeficientov kvadratnega trinoma
. Izraz
, ki stoji pod znakom kvadratnega korena, se imenuje diskriminator enačbe
. Možni so trije primeri:

1)
– v tem primeru je resnična množica predikata sestavljena iz enega realnega števila
(kvadratna enačba
ima en pravi koren);

2)
– v tem primeru je resnična množica predikata sestavljena iz dveh realnih števil, ki ju izračunamo po zgoraj zapisanih formulah (kvadratna enačba
ima dva prava korena);

3)
– v tem primeru je resnična množica predikata sestavljena iz dveh kompleksnih konjugiranih števil:

(enačba
ima kompleksne konjugirane korene).

V splošnem primeru pridemo do rešitve problema enačbe - stopnje glede na eno neznano

kvote
ki jih bomo upoštevali poljubna kompleksna števila , in vodilni koeficient
. Reševanje enačbe (7.2) pomeni iskanje takih vrednosti neznanke , ki jo, ko jo nadomestimo v enačbo (7.2), spremenimo v numerično istovetnost. Problem reševanja enačbe (7.2) nadomestimo s splošnim problemom preučevanje leve strani te enačbe .

Opredelitev 7.1. Polinom , ozpolinom stopnje od enega neznanega (ali črke )se imenuje formalni izraz oblike

, (7.3)

to je formalna algebraična vsota celih nenegativnih potenc neznanke , vzeto z nekaterimi, na splošno rečeno, kompleksnimi koeficienti , ,
, ,
.

Polinome označujemo z različnimi črkami latinske in grške abecede, tako velikimi kot malimi.

Stopnja polinoma (7.3) imenujemo najvišja stopnja neznano , pri kateri je koeficient
. Polinom nič stopnje je polinom, sestavljen iz enega neničelnega kompleksnega števila. Tudi število nič je polinom katerega obseg ni določen .

Stopnja polinoma , če je potrebno, je na primer označen z indeksom
, ali simbol
. Poleg zapisovanja polinomov v obliki (7.3) se pogosto uporablja oblika zapisa v naraščajočih potencah , to je

Enakost, vsota in produkt polinomov . Polinome lahko primerjamo in nad njimi izvajamo operacije seštevanja in množenja.

Opredelitev 7.2. Dva polinoma
in
se upoštevajoenaka in napiši
če in samo če sta njuna koeficienta enaka za enake stopnje neznanke .

Noben polinom, katerega vsaj en koeficient ni enak nič, ne more biti enak nič. Zato je enačaj v enačbi stopnja nima nobene zveze z enakostjo polinomov.

V matematični analizi enakost polinomov
se obravnava kot enakost dveh funkcij, tj.

.

Če so polinomi enaki v smislu definicije 7.2, potem so enaki tudi v smislu enakosti funkcij. Obratno je posledica temeljnega izreka polinomske algebre, formuliranega spodaj.

Uvedimo dve algebraični operaciji na polinome s kompleksnimi (v splošnem primeru) koeficienti: dodatek in množenje .

Opredelitev 7.3. Naj sta dana dva polinoma

,
,

,
.

Za gotovost postavimo
. Znesek teh polinomov imenujemo polinom

katerih koeficienti so enaki vsoti koeficientov za enake stopnje neznanke :

.

Še več, če
verjeti.

Upoštevajte, da je stopnja vsote dveh polinomov pri
enako , in kdaj
lahko manj , ko je namreč
.

Opredelitev 7.4. Delo polinomi

,
,

,

imenujemo polinom

katerih koeficiente najdemo s formulo

, . (7.4)

Tako je koeficient produkta dveh polinomov z indeksom
enaka vsoti vseh možnih produktov koeficientov polinomov
in
, je vsota indeksov enaka , in sicer:

,
,
,
.

Iz zadnje enakosti, ki jo imamo
. torej stopnja produkta dveh polinomov je enaka vsoti stopenj teh polinomov:

Po definiciji velja, da stopnja polinoma

.

Dobili smo naslednji rezultat.

Lema 7.1. Pustiti
in
– dva polinoma. Nato njihov izdelek.

Primer 7.2. Naj sta dana dva polinoma različnih stopenj, na primer

,
.

Potem sta njuna vsota oziroma produkt:

.

Tako sta v množici polinomov s kompleksnimi koeficienti uvedeni dve binarni algebrski operaciji – dodatek in množenje . Lastnosti teh operacij so določene z naslednjim izrekom.

Izrek 7.1. Množica vseh polinomov s kompleksnimi koeficienti je komutativni in asociativni obroč z identiteto.

Dokaz izreka se zmanjša na preverjanje aksiomov obroča in ga bomo izpustili. Omenimo le, da je ničla za operacijo seštevanja število (polinom) , enota za operacijo množenja pa je število (polinom) .

Polinomski obroč je označen z
, Kje
– simbol polja, nad katerim je definiran polinom. Tako izrek 7.1 pravi: množica vseh polinomov s kompleksnimi koeficienti je obroč
.

Deljivost polinomov . Polinom
ima inverzni polinom
, če in samo če
– polinom ničelne stopnje. Res, če
, nato inverzni polinom
. če
, nato stopinja leve strani
pod pogojem, da
obstaja, ne sme biti nič manj
, vendar je desna stran zadnje enakosti polinom ničelne stopnje. Torej, v polinomskem obroču
Za operacijo množenja ni inverzne operacije deljenja . V polinomskem obroču pa obstaja algoritem deljenja z ostankom .

Izrek 7.2. Za poljubna dva polinoma
in
obstajajo takšni polinomi
in
, Kaj

, (7.5)

kje, oz
. Predstavitev (7.5) je edinstvena.

Dokaz. Pustiti
in
. Predstavimo polinome
in
kot

če
oz
, potem vstavimo (7.5)

,
.

Potem je očitno (7.5) izpolnjeno. Zato predpostavimo, da
. Postavimo:

. (7.6)

Označimo vodilni koeficient polinoma
skozi . To je očitno
. če
, potem postavimo:

. (7.7)

Vodilni koeficient polinoma
označimo . če
, potem ga postavimo znova

(7.8)

in tako naprej. Stopnje
polinomi
, očitno zmanjšati. Po končnem številu korakov dobimo

, (7.9)

kje oz
, oz
. Po tem se postopek ustavi.

Če seštejemo enakosti (7.6) – (7.9), dobimo

Oznaka zneska v oklepaju
, A
, dobimo (7.5) in bodisi
, ali diplomo
.

Dokažimo edinstvenost (7.5). Pustiti

kje oz
, ali . Iz (7.5) in (7.11) imamo:

Stopnja polinoma na levi strani zadnje enakosti ni manjša od stopnje
, stopnja polinoma na desni strani pa je nič ali manjša od stopnje
. Zato je zadnja enakost izpolnjena samo za enakosti

,
.

Polinom
v formuli (7.5) se imenuje zasebno od deljenja polinoma
na polinom
, in polinom
klical preostanek iz te divizije. če
, potem pravijo, da je polinom
deljiva s polinomom
ki se imenuje delitelj polinoma
. Ugotovimo, kdaj polinom
deljiva s polinomom
.

Izrek 7.3. Polinom
deljiva s polinomom
če in samo če takšen polinom obstaja
, Kaj

. (7.12)

Dokaz. Res, če
deljeno s
, potem kot
vzeti bi moral količnik deljenja
na
. Nasprotno pa naj obstaja polinom, za katerega velja enakost (7.12). Potem iz tega, kar je bilo dokazano v izreku 7.1. edinstvenost polinomov
in
v zastopanosti (7.5) in pogoje, da stopnja
manjšo stopnjo
, sledi, da je količnik deljenja
na
enako
, in preostanek
.

Posledica izreka 7.3.Če je polinom
in njen delitelj
imajo racionalne ali realne koeficiente, nato količnik
bodo imeli tudi racionalne ali realne koeficiente.

Primer 7.3. Izvedite deljenje z ostankom polinoma

na polinom
.

Rešitev Algoritem deljenja (7.6) – (7.9) je implementiran v obliki “ delitev z vogalom »:

Torej, količnik
, ostanek
. Zato imamo naslednjo predstavitev

kar lahko preverimo z neposrednim množenjem.

Opredelitev 7.5. Pustiti
in
– dva polinoma. Polinom
klicalnajvečji skupni delitelj (GCD)teh polinomov, če je njihov skupni delitelj in je sam deljiv s katerim koli drugim skupnim deliteljem teh polinomov.

GCD polinomov
in
označeno z . Oblikujmo in dokažimo izrek, ki daje konstruktiven algoritem za iskanje GCD za katera koli dva polinoma.

Izrek 7.4 (Evklidski algoritem). Za poljubna dva polinoma
in
obstaja največji skupni delitelj

Dokaz. Najprej oblikujmo Evklidski algoritem ugotovitev
, nato pa bomo dokazali, da je polinom, ki ga dobimo v procesu implementacije tega algoritma, največji skupni delitelj obeh danih polinomov.

Najprej razdelimo polinom
na polinom
in v splošnem primeru dobimo nekaj ostanka
. Naprej delimo
na
in dobite preostanek
, razdeli
na
in dobite preostanek
in tako naprej. Kot rezultat takih zaporednih delitev pridemo do preostanka
, s katerim se deli prejšnji ostanek
. Ta ostanek bo največji skupni delitelj teh polinomov.

Da bi to dokazali, zaporedoma zapišemo verigo delitev:

Zadnja enakost to dokazuje
je delilec za
. Zato sta oba člena na desni strani predzadnje enakosti deljena z
in torej naprej
delnice in
. Če se premaknemo navzgor po verigi delitev, to razumemo
je delilec za
,
,
,
. Iz druge enakosti verige vidimo, da
je delilec za
in torej na podlagi prve enakosti – za
. Torej,
je skupni delitelj za
in
.

Končna polja je mogoče sestaviti iz polinomskih obročev na enak način, kot so bila polja sestavljena iz obroča celih števil. Naj obstaja obroč polinomov F[x] nad poljem F. Tako kot so bili zgrajeni za prstan Z, obroči za razmerje, lahko za prstan sestavite tudi obroče za razmerje F[x]. Izbira od F[x] poljuben polinom p(x), lahko določite razmerje prstan z uporabo p(x) kot modul za določanje aritmetike tega obroča. Omejili se bomo le na obravnavo reduciranih polinomov, saj ta omejitev odpravlja nepotrebno negotovost pri konstrukciji.

Opredelitev 2.4.1. Za poljuben reducirani polinom p(x) stopinja nad poljem, ki ni ničelna F je obroč polinomov po modulu p(x) imenujemo množica vseh polinomov nad F, katerih stopnja ne presega stopnje polinoma p(x), s operacije seštevanja in množenja polinomov po modulu p(x). Ta obroč je običajno označen z F(x)/(p(x)).

Poljubni element r(x) prstani F[x] se lahko preslika v obročni element РF[х]/(р(х)) z uporabo ujemanja r(x)-R R(X). Dva elementa a(x) in b(x) od F[x], preslikano v isti element iz F[x]/(p(x)), se imenujejo primerljivi:

a(x) = b(x)(mod p(x)).

Potem b(x)= Oh)+Q (x) p (x) za nek polinom Q(x).

Izrek 2.4.2.Množica F1x]/(p(x)) je obroč.

Dokaz je bralcu na voljo kot vaja.

Izberimo v obroču polinomov nad GF(2), na primer polinom p(x)= x 3+ 1 . Nato obroč modulo polinomov p(x) enako GF(2) [x]/(x 3 + 1). Sestavljen je iz elementov

{0, 1, x, x+1, x 2, x 2 +1, x 2 + x, x 2 + x + 1). V tem obroču se množenje izvaja na primer takole:

(x 2 +1) (x 2) = R x 3 + 1 ((x 2 +1) (x 2)) = R x 3 + 1 ((x 3 +1) x + x 2 +x) = x 2 +x,

kjer se redukcija uporablja po pravilu x 4 = x (x 3+ 1) + X.

Izrek 2.4.3.Obroč polinomov po modulu zmanjšanega polinoma p(x) je polje, če in samo če je polinom p(x) preprost ( Spomnimo se, da je preprost polinom hkrati ireduktibilen in reduciran. Za konstrukcijo polja zadošča le iredukcibilnost p(x), vendar smo se dogovorili, da upoštevamo samo reducirane polinome, zato so nadaljnji rezultati manj splošni.

Dokaz. Naj polinom p(x) preprosto Da bi dokazali, da zadevni obroč tvori polje, zadostuje pokazati, da ima vsak neničelni element multiplikativni inverz. Naj s (X)- nekaj neničelnega elementa obroča. Potem degs (X)< deg p(x). Ker je polinom p(x) je preprosta, potem je GCD = 1. Po posledici 2.3.7

GCD = 1 =a(x)p(x) + b(x) s (x)

za nekatere polinome Oh) in b(x). torej

1 = R p(x)[ 1] = R p(x)= R p(x){ R p(x))