V nadaljevanju obravnavamo sisteme linearnih enačb nad poljem spremenljivk DODATNA DEFINICIJA. Za dva sistema linearnih enačb pravimo, da sta enakovredna, če je vsaka rešitev enega ali drugega sistema rešitev drugega sistema.
Naslednji stavki izražajo lastnosti ekvivalence, ki izhajajo iz definicije ekvivalence in zgoraj omenjene lastnosti konsistentnosti sistemov.
PREDLOG 2.2. Dva sistema linearnih enačb sta enakovredna, če in samo če je vsak od teh sistemov posledica drugega sistema.
PREDLOG 2.3. Dva sistema linearnih enačb sta enakovredna, če in samo če množica vseh rešitev enega sistema sovpada z množico vseh rešitev drugega sistema.
PREDLOG 2.4. Dva sistema linearnih enačb sta enakovredna, če in samo če so predikati, ki jih definirata ta sistema, enakovredni.
OPREDELITEV. Naslednje transformacije imenujemo elementarne transformacije sistema linearnih enačb:
(a) množenje obeh strani neke enačbe sistema z ničelnim skalarjem;
(P) dodajanje (odštevanje) obema stranema katere koli enačbe sistema ustreznih delov druge enačbe sistema, pomnoženih s skalarjem;
Izključitev iz sistema ali dodatek v sistem linearne enačbe z nič koeficienti in nič prostim členom.
IZREK 2.5. Če en sistem linearnih enačb dobimo iz drugega sistema linearnih enačb kot rezultat verige elementarnih transformacij, potem sta ta dva sistema enakovredna.
Dokaz. Naj bo sistem dan
Če pomnožimo eno od njegovih enačb, na primer prvo, z neničelnim skalarjem X, dobimo sistem
Vsaka rešitev sistema (1) je tudi rešitev sistema (2).
Nasprotno: če - katera koli rešitev sistema (2),
potem z množenjem prve enačbe in brez spreminjanja naslednjih enakosti dobimo enačbe, ki kažejo, da je vektor rešitev sistema (1). Posledično je sistem (2) enakovreden originalnemu sistemu (1). Prav tako je enostavno preveriti, da ena sama uporaba elementarne transformacije (P) na sistem (1) ali vodi do sistema, enakovrednega izvirnemu sistemu (1). Ker je ekvivalenčna relacija tranzitivna, ponavljajoča se uporaba elementarnih transformacij vodi do sistema enačb, ki je enakovreden izvirnemu sistemu (1).
POSLEDICA 2.6. Če eni od enačb sistema linearnih enačb dodate linearno kombinacijo drugih enačb sistema, dobite sistem enačb, ki je enakovreden prvotnemu.
POSLEDICA 2.7. Če iz sistema linearnih enačb izločimo ali mu dodamo enačbo, ki je linearna kombinacija drugih enačb sistema, dobimo sistem enačb, ki je enakovreden izvirnemu sistemu.
Definicija 5. Elementarne transformacije sistem linearnih enačb imenujemo njegove naslednje transformacije:
1) preureditev poljubnih dveh enačb;
2) množenje obeh strani ene enačbe s poljubnim številom;
3) dodajanje ustreznih delov druge enačbe obema stranema enačbe, pomnoženih s poljubnim številom k;
(vse druge enačbe pa ostanejo nespremenjene).
Ničelna enačba imenujemo naslednjo enačbo:
1. izrek. Vsako končno zaporedje elementarnih transformacij in transformacija, ki izbriše ničelno enačbo, pretvori en sistem linearnih enačb v drug, njemu enakovredni sistem linearnih enačb.
Dokaz. Na podlagi 4. lastnosti prejšnjega odstavka je dovolj, da izrek dokažemo za vsako transformacijo posebej.
1. Pri preurejanju enačb v sistemu se same enačbe ne spremenijo, zato je po definiciji nastali sistem enakovreden prvotnemu.
2. Na podlagi prvega dela dokaza je dovolj, da dokažemo trditev za prvo enačbo. Pomnožimo prvo enačbo sistema (1) s številom , dobimo sistem
(2)
Pustiti 
sistemi (1) . Potem števila zadovoljujejo vse enačbe sistema (1). Ker vse enačbe sistema (2), razen prve, sovpadajo z enačbami sistema (1), števila zadoščajo vsem tem enačbam. Ker števila zadovoljujejo prvo enačbo sistema (1), velja pravilna numerična enakost:
Množenje s številom K, dobimo pravilno numerično enakost:
to. to ugotavljamo
sistemi (2).
Nazaj, če rešitev sistema (2), potem števila zadoščajo vsem enačbam sistema (2). Ker vse enačbe sistema (1) razen prve sovpadajo z enačbami sistema (2), števila zadoščajo vsem tem enačbam. Ker števila zadoščajo prvi enačbi sistema (2), potem velja numerična enakost (4). Če oba njena dela delimo s številom, dobimo številsko enakost (3) in to tudi dokažemo
rešitev sistema (1).
Zato je po definiciji 4 sistem (1) enakovreden sistemu (2).
3. Na podlagi prvega dela dokaza je dovolj dokazati trditev za prvo in drugo enačbo sistema. Obema stranema prve enačbe sistema prištejmo ustrezne dele druge, pomnožene s številom K, dobimo sistem
(5)
Pustiti rešitev sistema (1) . Potem števila zadovoljujejo vse enačbe sistema (1). Ker vse enačbe sistema (5) razen prve sovpadajo z enačbami sistema (1), števila zadoščajo vsem tem enačbam. Ker števila zadovoljujejo prvo enačbo sistema (1), veljajo pravilne numerične enakosti:
Dodajanje člena za členom prvi enakosti drugi, pomnoženi s številom K dobimo pravilno številsko enakost.
Dva sistema linearnih enačb iz ene množice x 1 ,..., x n neznank oziroma iz m oziroma p enačb
Imenujemo jih enakovredne, če njihove rešitve množice in sovpadajo (to pomeni, da podmnožice in v K n sovpadajo, ). To pomeni, da: ali so hkrati prazne podmnožice (tj. oba sistema (I) in (II) sta nekonzistentna), ali pa so hkrati neprazni in (tj. vsaka rešitev sistema I je rešitev sistema II, in vsaka rešitev sistema II je rešitev sistema I).
Primer 3.2.1.
Gaussova metoda
Načrt za algoritem, ki ga je predlagal Gauss, je bil precej preprost:
- na sistem linearnih enačb uporabimo zaporedne transformacije, ki ne spremenijo množice rešitev (tako ohranimo množico rešitev prvotnega sistema), in preidemo na enakovredni sistem, ki ima »enostavno obliko« (t. i. korak). oblika);
- za “enostavno obliko” sistema (s stopničasto matriko) opišite množico rešitev, ki sovpada z množico rešitev izvirnega sistema.
Upoštevajte, da je bila podobna metoda, "fan-chen", poznana že v stari kitajski matematiki.
Elementarne transformacije sistemov linearnih enačb (vrstice matrik)
Definicija 3.4.1 (elementarna transformacija tipa 1). Ko se i-ta enačba sistema doda k-ti enačbi, pomnoženi s številom (zapis: (i)"=(i)+c(k); tj. samo ena i-ta enačba (i) se nadomesti z novo enačbo (i)"=(i)+c(k) ). Nova ith enačba ima obliko (a i1 +ca k1)x 1 +...+(a in +ca kn)x n =b i +cb k, ali na kratko,
To je v novi i-ti enačbi a ij "=a ij +ca kj , b i "=b i +cb k.
Definicija 3.4.2 (elementarna transformacija tipa 2). Ko se i -ta in k -ta enačba zamenjata, se preostale enačbe ne spremenijo (zapis: (i)"=(k) , (k)"=(i) ; za koeficiente to pomeni naslednje: za j= 1,.. .,n
Opomba 3.4.3. Za udobje lahko v posebnih izračunih uporabite elementarno transformacijo 3. vrste: i -to enačbo pomnožite s številom, ki ni nič 
, (i)"=c(i) .
Trditev 3.4.4. Če smo prešli iz sistema I v sistem II s končnim številom elementarnih transformacij 1. in 2. tipa, potem se lahko iz sistema II vrnemo v sistem I tudi z uporabo elementarnih transformacij 1. in 2. tipa.
Dokaz.
Opomba 3.4.5. Trditev drži tudi z vključitvijo elementarne transformacije 3. vrste v število elementarnih transformacij. če in (i)"=c(i) , potem 
in (i)=c -1 (i)" .
Izrek 3.4.6.Po zaporedni uporabi končnega števila elementarnih transformacij 1. ali 2. tipa na sistem linearnih enačb dobimo sistem linearnih enačb, ki je ekvivalenten prvotnemu.
Dokaz. Upoštevajte, da je dovolj, da obravnavamo primer prehoda iz sistema I v sistem II z uporabo ene elementarne transformacije in dokažemo vključitev za množice rešitev (ker se na podlagi dokazanega predloga iz sistema II lahko vrnemo v sistem I in torej imeli bomo inkluzijo, torej dokazano enakost).
Osnovne transformacije vključujejo:
1) Dodajanje obeh strani ene enačbe ustreznih delov druge, pomnoženih z istim številom, ki ni enako nič.
2) Preurejanje enačb.
3) Iz sistema odstranimo enačbe, ki so identitete za vse x.
KRONECKER–CAPELLIJEV TEOREM
(pogoj združljivosti sistema)
(Leopold Kronecker (1823-1891), nemški matematik)
Izrek: Sistem je konsistenten (ima vsaj eno rešitev), če in samo če je rang sistemske matrike enak rangu razširjene matrike.
Očitno lahko sistem (1) zapišemo kot:
x 1 + x 2 + … + x n
Dokaz.
1) Če rešitev obstaja, potem je stolpec prostih členov linearna kombinacija stolpcev matrike A, kar pomeni dodajanje tega stolpca matriki, tj. prehod А®А * ne spreminjajte ranga.
2) Če je RgA = RgA *, potem to pomeni, da imata enak osnovni mol. Stolpec prostih členov je linearna kombinacija stolpcev baznega mola, zato je zgornji zapis pravilen.
Primer. Določite združljivost sistema linearnih enačb:
~ 
. 
RgA = 2.
A* = 
RgA* = 3.
Sistem je nedosleden.
Primer. Ugotovite združljivost sistema linearnih enačb.
A = ; = 2 + 12 = 14 ¹ 0; RgA = 2;
A* = 
RgA* = 2.
Sistem je sodelovalen. Rešitve: x 1 = 1; x 2 =1/2.
2.6 GAUSSOVA METODA
(Carl Friedrich Gauss (1777-1855), nemški matematik)
Za razliko od matrične metode in Cramerjeve metode lahko Gaussovo metodo uporabimo za sisteme linearnih enačb s poljubnim številom enačb in neznank. Bistvo metode je zaporedno izločanje neznank.
Razmislite o sistemu linearnih enačb:
Obe strani 1. enačbe delite z 11 ¹ 0, nato:
1) pomnožite z 21 in odštejte od druge enačbe
2) pomnožite z 31 in odštejte od tretje enačbe
, Kje d 1 j = a 1 j /a 11, j = 2, 3, …, n+1.
d ij = a ij – a i1 d 1j i = 2, 3, … , n; j = 2, 3, …, n+1.
Primer. Rešite sistem linearnih enačb z Gaussovo metodo.
, od koder dobimo: x 3 = 2; x 2 = 5; x 1 = 1.
Primer. Rešite sistem z Gaussovo metodo.
Ustvarimo razširjeno matriko sistema.
Tako lahko prvotni sistem predstavimo kot:
, od koder dobimo: z = 3; y = 2; x = 1.
Dobljeni odgovor sovpada z odgovorom, pridobljenim za ta sistem s Cramerjevo metodo in matrično metodo.
Če želite to rešiti sami:
Odgovor: (1, 2, 3, 4).
TEMA 3. ELEMENTI VEKTORSKE ALGEBRE
OSNOVNE DEFINICIJE
Opredelitev. Vektor imenujemo usmerjen segment (urejen par točk). Vektorji vključujejo tudi nič vektor, katerega začetek in konec sovpadata.
Opredelitev. Dolžina (modul) vektor je razdalja med začetkom in koncem vektorja.
Opredelitev. Vektorji se imenujejo kolinearni, če se nahajajo na istih ali vzporednih premicah. Ničelni vektor je kolinearen kateremu koli vektorju.
Opredelitev. Vektorji se imenujejo komplanaren, če obstaja ravnina, s katero sta vzporedni.
Kolinearni vektorji so vedno koplanarni, vendar niso vsi koplanarni vektorji kolinearni.
Opredelitev. Vektorji se imenujejo enaka, če so kolinearni, enako usmerjeni in imajo enake module.
Vse vektorje je mogoče pripeljati do skupnega izvora, tj. konstruirajte vektorje, ki so vsakokrat enaki podatkom in imajo skupno izhodišče. Iz definicije enakosti vektorjev sledi, da ima vsak vektor neskončno veliko enakih vektorjev.
Opredelitev. Linearne operacije nad vektorji imenujemo seštevanje in množenje s številom.
Vsota vektorjev je vektor -
delo - 
, in je kolinearna.
Vektor je sosmeren z vektorjem ( ), če je a > 0.
Vektor je usmerjen nasprotno od vektorja ( ¯ ), če je a< 0.
LASTNOSTI VEKTORJEV
1) + = + - komutativnost.
2) + ( + ) = ( + )+
5) (a×b) = a(b) – asociativnost
6) (a+b) = a + b - distributivnost
7) a( + ) = a + a
Opredelitev.
1) Osnova v prostoru se imenujejo kateri koli 3 nekoplanarni vektorji, vzeti v določenem vrstnem redu.
2) Osnova na ravnini imenujemo katera koli 2 nekolinearna vektorja, vzeta v določenem vrstnem redu.
3)Osnova Vsak neničelni vektor na premici se imenuje.
Osnovne matrične transformacije vključujejo:
1. Spreminjanje vrstnega reda vrstic (stolpcev).
2. Zavrženje ničelnih vrstic (stolpcev).
3. Množenje elementov katere koli vrstice (stolpca) z eno številko.
4. Dodajanje elementom katere koli vrstice (stolpca) elementov druge vrstice (stolpca), pomnoženih z eno številko.
Sistemi linearnih algebrskih enačb (Osnovni pojmi in definicije).
1. Sistem m linearne enačbe z n imenovani neznanci sistem enačb oblike:
2.Z odločitvijo sistem enačb (1) imenujemo zbirka števil x 1 , x 2 , … , x n , pretvarjanje vsake enačbe sistema v identiteto.
3. Sistem enačb (1) se imenuje sklep, če ima vsaj eno rešitev; če sistem nima rešitev, se imenuje neskupni.
4. Sistem enačb (1) se imenuje določene, če ima samo eno rešitev, in negotova, če ima več kot eno rešitev.
5. Kot rezultat elementarnih transformacij se sistem (1) pretvori v sistem, ki mu je enakovreden (t.j. z enakim nizom rešitev).
Do elementarnih transformacij sistemi linearnih enačb vključujejo:
1. Zavrženje ničelnih vrstic.
2. Spreminjanje vrstnega reda vrstic.
3. Dodajanje elementom katere koli vrstice elementov druge vrstice, pomnoženih z eno številko.
Metode reševanja sistemov linearnih enačb.
1) Inverzna matrična metoda (matrična metoda) za reševanje sistemov n linearnih enačb z n neznankami.
Sistem n linearne enačbe z n imenovani neznanci sistem enačb oblike:
Zapišimo sistem (2) v matrični obliki, za to uvedemo zapis.
Matrika koeficientov za spremenljivke:
X = je matrika spremenljivk.
B = je matrika prostih členov.
Potem bo sistem (2) dobil obliko:
A× X = B– matrična enačba.
Če rešimo enačbo, dobimo:
X = A -1 × B
primer:
;
;
1) │A│= 15 + 8 ‒18 ‒9 ‒12 + 20 = 4 0 matrika A -1 obstaja.
3)
Ã
=
4) A -1 = × Ã = 
;
X = A -1 × B 
odgovor:
2) Cramerjevo pravilo za reševanje sistemov n – linearnih enačb z n – neznankami.
Razmislite o sistemu 2 – x linearnih enačb z 2 – neznankama:
Rešimo ta sistem z metodo zamenjave:
Iz prve enačbe sledi:
Če nadomestimo v drugo enačbo, dobimo:
Če zamenjamo vrednost v formulo za, dobimo:
Determinanta Δ je determinanta sistemske matrike;
Δ x 1 - determinanta spremenljivke x 1 ;
Δ x 2 - determinanta spremenljivke x 2 ;
Formule:
x 1 =;x 2 =;…,x n = ;Δ 0;
- se imenujejo Cramerjeve formule.
Pri iskanju determinant neznank X 1 , X 2 ,…, X n stolpec koeficientov za spremenljivko, katere determinanto najdemo, zamenjamo s stolpcem prostih členov.
primer: Rešite sistem enačb po Cramerjevi metodi
rešitev:
Najprej sestavimo in izračunajmo glavno determinanto tega sistema:
Ker je Δ ≠ 0, ima sistem edinstveno rešitev, ki jo lahko najdemo s Cramerjevim pravilom:
kjer so Δ 1, Δ 2, Δ 3 dobljeni iz determinante Δ z zamenjavo 1., 2. oziroma 3. stolpca s stolpcem prostih členov.
Torej:
Gaussova metoda za reševanje sistemov linearnih enačb.
Razmislite o sistemu:
Razširjena matrika sistema (1) je matrika oblike:
Gaussova metoda je metoda zaporednega izločanja neznank iz enačb sistema, začenši od druge enačbe do m- ta enačba.
V tem primeru se s pomočjo elementarnih transformacij matrika sistema zmanjša na trikotno (če m = n in sistemska determinanta ≠ 0) ali postopno (če m< n ) oblika.
Nato se od zadnje enačbe po številu najdejo vse neznanke.
Algoritem Gaussove metode:
1) Ustvarite razširjeno matriko sistema, vključno s stolpcem prostih pogojev.
2) Če A 11 0, nato delite prvo vrstico z A 11 in pomnožite z (– a 21) in dodajte drugo vrstico. Podoben doseg m-ta vrstica:
Stran 1 razdelite na A 11 in pomnožite z (– A m 1) in dodajte m– ta stran
Še več, iz enačb, začenši od druge do m– to pomeni, da bo spremenljivka izključena x 1 .
3) V 3. koraku se druga vrstica uporabi za podobne elementarne transformacije premic iz 3. v m- Tuyu. To bo odpravilo spremenljivko x 2, od 3. vrstice naprej m– thuyu itd.
Zaradi teh transformacij se bo sistem zmanjšal na trikotno ali stopničasto obliko (v primeru trikotne oblike bodo pod glavno diagonalo ničle).
Zmanjšanje sistema na trikotno ali stopničasto obliko se imenuje direktna Gaussova metoda, in iskanje neznank iz nastalega sistema se imenuje obratno.
primer:
Neposredna poteza. Predstavimo razširjeno matriko sistema
z uporabo elementarnih transformacij v postopno obliko. Preuredimo prvo in drugo vrstico matrike A b, dobimo matriko:
Seštejmo drugo vrstico dobljene matrike s prvo, pomnoženo z (‒2), in njeno tretjo vrstico s prvo vrstico, pomnoženo z (‒7). Vzemimo matrico
Tretji vrstici dobljene matrike dodamo drugo vrstico, pomnoženo z (-3), kar ima za posledico stopenjsko matriko
Tako smo ta sistem enačb zmanjšali na postopno obliko:
,
Povratni premik. Začenši z zadnjo enačbo nastalega postopnega sistema enačb, zaporedno najdemo vrednosti neznank:
