Rezolvarea grafică a inegalităților

AGENȚIA FEDERALĂ PENTRU EDUCAȚIE

INSTITUTUL PENTRU DEZVOLTAREA EDUCAȚIEI

„Metode grafice pentru rezolvarea ecuațiilor și inegalităților cu parametri”

împlinit

profesor de matematică

MOU scoala gimnaziala №62

Lipetsk 2008

INTRODUCERE ............................................................. . ................................................. .3

X;la) 4

1.1. Transferul paralel ............................................................. ............. ................................. 5

1.2. Întoarce ................................................. ................................................. 9

1.3. Omotezia. Compresie la o linie dreaptă ................................................. .. ................. 13

1.4. Două drepte într-un plan ................................................ .. ....................... cincisprezece

2. TEHNICI GRAFICE. COORDONATE AVION ( X;A) 17

CONCLUZIE................................................. .......................................... douăzeci

LISTA BIBLIOGRAFICĂ ................................................ ................. ........ 22

INTRODUCERE

Problemele pe care le au școlarii la rezolvarea ecuațiilor și inegalităților nestandardizate sunt cauzate atât de complexitatea relativă a acestor probleme, cât și de faptul că la școală, de regulă, atenția principală este acordată rezolvării problemelor standard.

Mulți studenți percep parametrul ca pe un număr „regulat”. Într-adevăr, în unele probleme, parametrul poate fi considerat o valoare constantă, dar această valoare constantă ia valori necunoscute! Prin urmare, este necesar să se ia în considerare problema pentru toate valorile posibile ale acestei constante. În alte probleme, poate fi convenabil să declarați artificial una dintre necunoscute ca parametru.

Alți școlari tratează parametrul ca pe o cantitate necunoscută și, fără a fi stânjeniți, pot exprima parametrul în termeni de variabilă în răspunsul lor. X.

La examenele finale și la examenele de admitere există în principal două tipuri de sarcini cu parametri. Le veți distinge imediat după formulare. Mai întâi: „Pentru fiecare valoare a parametrului, găsiți toate soluțiile unei ecuații sau inegalități.” În al doilea rând: „Găsiți toate valorile parametrului, pentru fiecare dintre care sunt îndeplinite anumite condiții pentru o anumită ecuație sau inegalitate”. În consecință, răspunsurile la aceste două tipuri de probleme diferă în esență. În răspunsul la problema primului tip, sunt enumerate toate valorile posibile ale parametrului, iar soluțiile ecuației sunt scrise pentru fiecare dintre aceste valori. În răspunsul la problema celui de-al doilea tip, toate valorile parametrilor sunt indicate în care sunt îndeplinite condițiile specificate în problemă.

Rezolvarea unei ecuații cu un parametru pentru o valoare fixă ​​dată a parametrului este o astfel de valoare a necunoscutului, atunci când o înlocuiți în ecuație, aceasta din urmă se transformă într-o egalitate numerică adevărată. Soluția inegalității cu un parametru este definită în mod similar. A rezolva o ecuație (inegalitate) cu un parametru înseamnă, pentru fiecare valoare admisibilă a parametrului, să găsești mulțimea tuturor soluțiilor acestei ecuații (inegalitatea).

1. TEHNICI GRAFICE. COORDONATE AVION ( X;la)

Alături de principalele tehnici și metode analitice de rezolvare a problemelor cu parametri, există modalități de referire la interpretări vizual-grafice.

În funcție de rolul acordat parametrului în sarcină (inegal sau egal cu variabila), se pot distinge în mod corespunzător două tehnici grafice principale: prima este construirea unei imagini grafice pe planul de coordonate. (X;y), al doilea - pe (X; A).

Pe planul (x; y) funcția y=f (X; A) definește o familie de curbe în funcție de parametru A. Este clar că fiecare familie f are anumite proprietăți. Ne interesează în primul rând ce transformare plană (translație paralelă, rotație etc.) poate fi folosită pentru a trece de la o curbă de familie la alta. O secțiune separată va fi dedicată fiecăreia dintre aceste transformări. Ni se pare că o astfel de clasificare face ca persoana decisivă să găsească mai ușor imaginea grafică necesară. Rețineți că, cu această abordare, partea conceptuală a soluției nu depinde de ce figură (linie dreaptă, cerc, parabolă etc.) va fi membru al familiei de curbe.

Desigur, nu întotdeauna imaginea grafică a familiei y=f (X;A) descris printr-o simplă transformare. Prin urmare, în astfel de situații, este util să ne concentrăm nu asupra modului în care curbele unei familii sunt legate, ci asupra curbelor în sine. Cu alte cuvinte, mai poate fi evidențiat un alt tip de probleme, în care ideea unei soluții se bazează în primul rând pe proprietățile formelor geometrice specifice, și nu pe familie în ansamblu. Ce figuri (mai precis, familiile acestor figuri) ne vor interesa în primul rând? Acestea sunt linii drepte și parabole. Această alegere se datorează poziției speciale (de bază) a funcțiilor liniare și pătratice în matematica școlară.

Apropo de metode grafice, este imposibil să ocoliți o singură problemă, „născută” în practica concursului. Avem în vedere problema rigoarei, și de aici legalitatea unei soluții bazate pe considerații grafice. Fără îndoială, din punct de vedere formal, rezultatul, luat din „poză”, nesusținut analitic, nu a fost riguros obținut. Totuși, cine, când și unde a determinat nivelul de rigoare la care ar trebui să respecte un licean? În opinia noastră, cerințele pentru nivelul de rigoare matematică pentru un elev ar trebui să fie determinate de bunul simț. Înțelegem gradul de subiectivitate al unui astfel de punct de vedere. Mai mult, metoda grafică este doar unul dintre ajutoarele vizuale. Iar vizibilitatea poate fi înșelătoare. Deci, pentru graficele de funcții DIV_ADBLOCK14">

1.1. Transfer paralel.

Să începem cu problemele în care membrii familiei la= f (X; A) va fi drept.

Exemplul 1 Găsiți toate valorile parametrilor b pentru care ecuația are o soluție unică.

Soluţie. Pentru comoditate, notăm lg b = a. Să scriem o ecuație echivalentă cu cea originală: http://pandia.ru/text/78/074/images/image004_56.gif" width="125" height="92">

Construim un grafic al funcției cu domeniul si (Fig. 1). Graficul rezultat este o familie de linii y = a ar trebui să se intersecteze doar într-un punct. Din figură se poate observa că această cerință este îndeplinită numai atunci când a > 2, adică lg b> 2, b> 100.

Răspuns. http://pandia.ru/text/78/074/images/image010_28.gif" width="15 height=16" height="16"> determinați numărul de soluții ale ecuației .

Soluţie. Să diagramăm funcția 102" height="37" style="vertical-align:top">

Considera . Această linie este paralelă cu axa x.

Răspuns..gif" width="41" height="20"> apoi 3 solutii;

dacă , atunci 2 soluții;

dacă , 4 soluții.

Să trecem la noua serie sarcini..gif" width="107" height="27 src=">.

Soluţie. Să construim o linie dreaptă la= X+1 (Fig. 3)..gif" width="92" height="57">

au o soluție, care este echivalentă cu ecuația ( X+1)2 = x + A au o rădăcină..gif" width="44 height=47" height="47"> inegalitatea originală nu are soluții. Rețineți că cei care sunt familiarizați cu derivata pot obține acest rezultat diferit.

Apoi, deplasând „jumătate de parabolă” la stânga, fixăm ultimul moment în care graficele la = X+ 1 și au două puncte în comun (poziția III). Acest aranjament este prevăzut de cerință A= 1.

Este clar că pentru segmentul [ X 1; X 2], unde X 1 și X 2 - abscisele punctelor de intersecție ale graficelor, vor fi soluția inegalității inițiale..gif" width="68 height=47" height="47">, apoi

Când „semi-parabola” și linia dreaptă se intersectează într-un singur punct (aceasta corespunde cazului a > 1), atunci soluția va fi segmentul [- A; X 2"], unde X 2" - cea mai mare dintre rădăcini X 1 și X 2 (pozitia IV).

Exemplul 4..gif" width="85" height="29 src=">.gif" width="75" height="20 src="> . De aici ajungem .

Luați în considerare funcțiile și . Dintre acestea, doar unul definește o familie de curbe. Acum vedem că înlocuirea făcută aduce beneficii neîndoielnice. În paralel, observăm că în problema anterioară, printr-o înlocuire similară, este posibil să se facă nu o „jumătate de parabolă”, ci o mișcare în linie dreaptă. Să ne întoarcem la Fig. 4. Evident, dacă abscisa vârfului „semi-parabolă” este mai mare decât unu, adică –3 A > 1, , atunci ecuația nu are rădăcini..gif" width="89" height="29"> și are caracter diferit monotonie.

Răspuns. Dacă atunci ecuația are o rădăcină; dacă http://pandia.ru/text/78/074/images/image039_10.gif" width="141" height="81 src=">

are solutii.

Soluţie.În mod clar, familiile directe http://pandia.ru/text/78/074/images/image041_12.gif" width="61" height="52">..jpg" width="259" height="155" >

Sens k1 găsim prin substituirea perechii (0;0) în prima ecuație a sistemului. De aici k1 =-1/4. Sens k 2 obținem prin solicitarea de la sistem

http://pandia.ru/text/78/074/images/image045_12.gif" width="151" height="47"> când k> 0 au o singură rădăcină. De aici k2= 1/4.

Răspuns. .

Să facem o remarcă. În câteva exemple din această secțiune, va trebui să rezolvăm o problemă standard: pentru o familie dreaptă, găsiți panta acesteia corespunzătoare momentului de tangență cu curba. Să arătăm cum să facem acest lucru într-un mod general folosind derivata.

În cazul în care un (x0; y 0) = centrul de rotație, apoi coordonatele (X 1; la 1) punctele de contact cu curba y=f(x) poate fi găsit prin rezolvarea sistemului

Panta dorita k este egal cu .

Exemplul 6. Pentru ce valori ale parametrului ecuația are o soluție unică?

Soluţie..gif" width="160" height="29 src=">..gif" width="237" height="33">, arc AB.

Toate razele care trec între OA și OB intersectează arcul AB într-un punct, de asemenea, într-un punct, ele intersectează arcul AB OB și OM (tangent)..gif" width="16" height="48 src=">. Găsit ușor din sistem

Deci, familii directe http://pandia.ru/text/78/074/images/image059_7.gif" width="139" height="52">.

Răspuns. .

Exemplul 7..gif" width="160" height="25 src="> are o soluție?

Soluţie..gif" width="61" height="24 src="> și coboară cu . Punct - este punctul maxim.

Funcția este familia de linii care trec prin punctul http://pandia.ru/text/78/074/images/image062_7.gif" width="153" height="28"> este arcul AB. Liniile care va fi între direct OA și OB, satisface condiția problemei..gif" width="17" height="47 src=">.

Răspuns..gif" width="15" height="20">nicio soluție.

1.3. Omotezia. Compresie la o linie dreaptă.

Exemplul 8 Câte soluții are sistemul

http://pandia.ru/text/78/074/images/image073_1.gif" width="41" height="20 src="> sistemul nu are soluții. a > 0 graficul primei ecuații este un pătrat cu vârfuri ( A; 0), (0;-A), (-A;0), (0;A). Astfel, membrii familiei sunt pătrate omotetice (centrul homotetiei este punctul O(0; 0)).

Să ne întoarcem la Fig. 8..gif" width="80" height="25"> fiecare latură a pătratului are două puncte comune cu cercul, ceea ce înseamnă că sistemul va avea opt soluții. Când cercul va fi înscris în pătrat, adică. vor exista din nou patru soluții Evident, pentru , sistemul nu are soluții.

Răspuns.În cazul în care un A< 1 или http://pandia.ru/text/78/074/images/image077_1.gif" width="56" height="25 src=">, atunci există patru soluții; dacă , atunci există opt soluții.

Exemplul 9. Găsiți toate valorile parametrului, pentru fiecare dintre ele ecuația width="195" height="162">

Numărul de rădăcini va corespunde cu numărul 8 când raza semicercului este mai mare și mai mică decât , adică. Rețineți că există .

Răspuns. sau .

1.4. Două linii drepte într-un plan

În esență, ideea de a rezolva problemele acestui paragraf se bazează pe problema studierii poziției relative a două linii drepte: și . Este ușor să arăți soluția acestei probleme în formă generală. Ne vom întoarce direct la exemple caracteristice specifice, care, în opinia noastră, nu vor dăuna laturii generale a problemei.

Exemplul 10 Pentru care a și b sistemul

http://pandia.ru/text/78/074/images/image094_0.gif" width="160" height="25 src=">..gif" width="67" height="24 src="> , t..gif" width="116" height="55">

Inegalitatea sistemului definește un semiplan cu graniță la= 2x- 1 (Fig. 10). Este ușor de observat că sistemul rezultat are o soluție dacă linia ah +prin = 5 intersectează limita semiplanului sau, fiind paralel cu acesta, se află în semiplan la– 2x + 1 < 0.

Să începem cu un caz b= 0. Atunci, s-ar părea, ecuația Oh+ prin = 5 definește o linie verticală care în mod evident intersectează linia y= 2X - 1. Cu toate acestea, această afirmație este adevărată numai atunci când ..gif" width="43" height="20 src="> sistemul are soluții..gif" width="99" height="48">. În acest caz, condiția de intersecție a liniilor este atinsă atunci când , adică ..gif" width="52" height="48">.gif" width="41" height="20"> și , sau și , sau și http ://pandia.ru/text/78/074/images/image109_0.gif" width="69" height="24 src=">.

− B plan de coordonate xOa trasează funcția .

− Se consideră dreptele și se selectează acele intervale ale axei Oa la care aceste drepte îndeplinesc următoarele condiții: a) nu intersectează graficul funcției ="24"> la un punct, c) la două puncte, d) la trei puncte și așa mai departe.

− Dacă sarcina este de a găsi valorile lui x, atunci exprimăm x în termeni de a pentru fiecare dintre intervalele găsite ale valorii lui a separat.

Vederea parametrului ca o variabilă egală este reflectată în metodele grafice..jpg" width="242" height="182">

Răspuns. a = 0 sau a = 1.

CONCLUZIE

Sperăm ca problemele analizate să demonstreze suficient de convingător eficacitatea metodelor propuse. Cu toate acestea, din păcate, domeniul de aplicare al acestor metode este limitat de dificultățile care pot fi întâlnite în construirea unei imagini grafice. E atât de rău? Aparent nu. Într-adevăr, prin această abordare, principala valoare didactică a sarcinilor cu parametri ca model de cercetare în miniatură se pierde în mare măsură. Considerațiile de mai sus se adresează însă profesorilor, iar pentru solicitanți formula este destul de acceptabilă: scopul justifică mijloacele. Mai mult, să ne luăm libertatea de a spune că într-un număr considerabil de universități, compilatorii de probleme competitive cu parametri urmează calea de la imagine la stare.

În aceste sarcini au fost discutate acele posibilități de rezolvare a problemelor cu un parametru care ni se deschid atunci când descriem grafice ale funcțiilor incluse în părțile din stânga și din dreapta ale ecuațiilor sau inegalităților. Datorită faptului că parametrul poate lua valori arbitrare, unul sau ambele grafice afișate se deplasează într-un anumit mod pe plan. Putem spune că obținem o întreagă familie de grafice corespunzătoare diferitelor valori ale parametrului.

Subliniem puternic două detalii.

În primul rând, nu vorbim despre o soluție „grafică”. Toate valorile, coordonatele, rădăcinile sunt calculate strict, analitic, ca soluții la ecuațiile, sistemele corespunzătoare. Același lucru este valabil și pentru cazurile de atingere sau încrucișare a graficelor. Ele sunt determinate nu de ochi, ci cu ajutorul discriminanților, derivatelor și altor instrumente disponibile. Poza ofera doar o solutie.

În al doilea rând, chiar dacă nu găsești nicio modalitate de a rezolva problema asociată cu graficele afișate, înțelegerea ta asupra problemei se va extinde semnificativ, vei primi informații pentru autoexaminare și șansele de succes vor crește semnificativ. Imaginându-vă cu exactitate ce se întâmplă în problemă pentru diferite valori ale parametrului, puteți găsi algoritmul corect de soluție.

Prin urmare, vom completa aceste cuvinte cu o propoziție urgentă: dacă chiar și în cea mai mică sarcină dificilă există funcții ale căror grafice știți să le desenați, asigurați-vă că o faceți, nu veți regreta.

REFERINȚE

1. Cherkasov,: Un ghid pentru elevii de liceu și solicitanții la universități [Text] /,. - M.: AST-PRESS, 2001. - 576 p.

2. Gorshtein, cu parametri [Text]: ediția a III-a, completată și revizuită /,. - M.: Ileksa, Harkov: Gimnaziul, 1999. - 336 p.

Una dintre cele mai convenabile metode de rezolvare a inegalităților pătratice este metoda grafică. În acest articol, vom analiza modul în care inegalitățile pătratice sunt rezolvate grafic. Mai întâi, să discutăm care este esența acestei metode. Și apoi dăm algoritmul și luăm în considerare exemple de rezolvare grafică a inegalităților pătratice.

Navigare în pagină.

Esența metodei grafice

În general mod grafic de rezolvare a inegalităților cu o variabilă este folosit nu numai pentru a rezolva inegalitățile pătrate, ci și inegalitățile de alte tipuri. Esența metodei grafice de rezolvare a inegalitățilorîn continuare: luați în considerare funcțiile y=f(x) și y=g(x) care corespund părților din stânga și dreapta ale inegalității, construiți graficele lor într-un singur sistem dreptunghiular coordonate și află la ce intervale se află graficul unuia dintre ele sub sau deasupra celuilalt. Acele intervale în care

• graficul funcției f deasupra graficului funcției g sunt soluții ale inegalității f(x)>g(x) ;
• graficul funcției f nu mai mic decât graficul funcției g sunt soluții ale inegalității f(x)≥g(x) ;
• graficul funcției f sub graficul funcției g sunt soluții ale inegalității f(x)
• graficul funcției f nu deasupra graficului funcției g sunt soluții ale inegalității f(x)≤g(x) .

Să mai spunem că abscisele punctelor de intersecție ale graficelor funcțiilor f și g sunt soluții ale ecuației f(x)=g(x) .

Să transferăm aceste rezultate în cazul nostru – pentru a rezolva inegalitatea pătratică a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥).

Introducem doua functii: prima y=a x 2 +b x+c (in acest caz f(x)=a x 2 +b x+c) corespunde laturii din stanga a inegalitatii patratice, a doua y=0 (in acest caz g (x)=0 ) corespunde laturii drepte a inegalității. programa funcţie pătratică f este o parabolă și graficul functie permanenta g este o linie dreaptă care coincide cu axa absciselor Ox .

În plus, conform metodei grafice de rezolvare a inegalităților, este necesar să analizăm la ce intervale se află graficul unei funcții deasupra sau sub cealaltă, ceea ce ne va permite să scriem soluția dorită a inegalității pătratice. În cazul nostru, trebuie să analizăm poziția parabolei în raport cu axa Ox.

În funcție de valorile coeficienților a, b și c, sunt posibile următoarele șase opțiuni (o reprezentare schematică este suficientă pentru nevoile noastre și este posibil să nu descriem axa Oy, deoarece poziția sa nu afectează soluția a inegalității):

În acest desen, vedem o parabolă ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus și care intersectează axa Ox în două puncte, ale căror abscise sunt x 1 și x 2 . Acest desen corespunde variantei când coeficientul a este pozitiv (este responsabil pentru direcția ascendentă a ramurilor parabolei) și când valoarea este pozitivă discriminant al unui trinom pătrat a x 2 +b x + c (în acest caz, trinomul are două rădăcini, pe care le-am notat cu x 1 și x 2, și am presupus că x 1 0 , D=b 2 −4 a c=(−1) 2 −4 1 (−6)=25>0, x 1 =−2 , x 2 =3 .

Pentru claritate, să desenăm cu roșu părțile parabolei situate deasupra axei absciselor și cu albastru - situate sub axa absciselor.


Acum să aflăm ce goluri corespund acestor părți. Următorul desen va ajuta la determinarea lor (în viitor, vom face mental astfel de selecții sub formă de dreptunghiuri):


Deci pe axa absciselor au fost evidențiate cu roșu două intervale (−∞, x 1) și (x 2, +∞), pe ele parabola este mai mare decât axa Ox, ele formând soluția inegalității pătratice a x 2 +b x+c>0 , iar intervalul (x 1 , x 2) este evidențiat cu albastru, pe el parabola este sub axa Ox , este o soluție a inegalității a x 2 + b x + c<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

Și acum pe scurt: pentru a>0 și D=b 2 −4 a c>0 (sau D"=D/4>0 pentru un coeficient b)

• soluția inegalității pătratice a x 2 +b x+c>0 este (−∞, x 1)∪(x 2 , +∞) sau, în alt mod, x x2;
• soluția inegalității pătratice a x 2 +b x+c≥0 este (−∞, x 1 ]∪ sau în altă notație x 1 ≤x≤x 2 ,

unde x 1 și x 2 sunt rădăcinile trinomului pătrat a x 2 + b x + c și x 1


Aici vedem o parabolă, ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus și care atinge axa absciselor, adică are un punct comun cu ea, să notăm abscisa acestui punct ca x 0. Cazul prezentat corespunde a>0 (ramurile sunt îndreptate în sus) și D=0 (trinomul pătrat are o rădăcină x 0 ). De exemplu, putem lua funcția pătratică y=x 2 −4 x+4 , aici a=1>0 , D=(−4) 2 −4 1 4=0 și x 0 =2 .

Desenul arată clar că parabola se află peste axa Ox peste tot, cu excepția punctului de contact, adică la intervalele (−∞, x 0) , (x 0 , ∞) . Pentru claritate, selectăm zone din desen prin analogie cu paragraful anterior.


Tragem concluzii: pentru a>0 și D=0

• soluția inegalității pătratice a x 2 +b x+c>0 este (−∞, x 0)∪(x 0 , +∞) sau în altă notație x≠x 0 ;
• soluția inegalității pătratice a x 2 +b x+c≥0 este (−∞, +∞) sau, în altă notație, x∈R ;
• inegalitatea pătratului a x 2 + b x + c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
• inegalitatea pătratică a x 2 +b x+c≤0 are o soluție unică x=x 0 (este dată de punctul tangent),

unde x 0 este rădăcina trinomului pătrat a x 2 + b x + c.


În acest caz, ramurile parabolei sunt îndreptate în sus și nu are puncte comune cu axa absciselor. Aici avem condițiile a>0 (ramurile sunt îndreptate în sus) și D<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0 , D=0 2 −4 2 1=−8<0 .

Evident, parabola este situată deasupra axei Ox pe toată lungimea sa (nu există intervale în care să fie sub axa Ox, nu există nici un punct de contact).


Astfel, pentru a>0 și D<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 și a x 2 +b x+c≥0 este mulțimea tuturor numerelor reale, iar inegalitățile a x 2 +b x+c<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

Și există trei opțiuni pentru amplasarea parabolei cu ramuri îndreptate în jos, și nu în sus, în raport cu axa Ox. În principiu, acestea nu pot fi luate în considerare, deoarece înmulțirea ambelor părți ale inegalității cu −1 ne permite să trecem la o inegalitate echivalentă cu un coeficient pozitiv la x 2 . Cu toate acestea, nu strica să vă faceți o idee despre aceste cazuri. Raționamentul aici este similar, așa că notăm doar rezultatele principale.

Algoritm de rezolvare

Rezultatul tuturor calculelor anterioare este algoritm pentru rezolvarea grafică a inegalităților pătrate:

Se realizează un desen schematic pe planul de coordonate, care înfățișează axa Ox (nu este necesar să se descrie axa Oy) și o schiță a unei parabole corespunzătoare unei funcții pătratice y=a x 2 + b x + c. Pentru a construi o schiță a unei parabole, este suficient să aflați două puncte:

• În primul rând, prin valoarea coeficientului a, se află unde sunt îndreptate ramurile sale (pentru a>0 - în sus, pentru a<0 – вниз).
• Și în al doilea rând, prin valoarea discriminantului trinomului pătrat a x 2 + b x + c, rezultă dacă parabola intersectează axa x în două puncte (pentru D> 0), o atinge într-un punct (pentru D= 0), sau nu are puncte comune cu axa Ox (pentru D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

• Când desenul este gata, pe el la a doua etapă a algoritmului

  • la rezolvarea inegalităţii pătratice a·x 2 +b·x+c>0 se determină intervalele la care parabola se află deasupra axei absciselor;
  • la rezolvarea inegalității a x 2 +b x+c≥0 se determină intervalele la care parabola se află deasupra axei absciselor și la acestea se adaugă abscisele punctelor de intersecție (sau abscisa punctului tangent);
  • la rezolvarea inegalităţii a x 2 +b x+c<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
  • în sfârșit, la rezolvarea unei inegalități pătratice de forma a x 2 +b x + c≤0, există intervale în care parabola este sub axa Ox și la acestea se adaugă abscisele punctelor de intersecție (sau abscisa punctului de tangență). ;

  ele constituie soluția dorită a inegalității pătratice, iar dacă nu există astfel de intervale și nici puncte de contact, atunci inegalitatea pătratică originală nu are soluții.

Rămâne doar să rezolvăm câteva inegalități pătratice folosind acest algoritm.

Exemple cu soluții

Exemplu.

Rezolvați inegalitatea .

Soluţie.

Trebuie să rezolvăm o inegalitate pătratică, vom folosi algoritmul din paragraful anterior. În primul pas, trebuie să desenăm o schiță a graficului funcției pătratice . Coeficientul la x 2 este 2, este pozitiv, prin urmare, ramurile parabolei sunt îndreptate în sus. Să aflăm și dacă parabola cu axa absciselor are puncte comune, pentru aceasta calculăm discriminantul trinomului pătrat . Avem . Discriminantul s-a dovedit a fi mai mare decât zero, prin urmare, trinomul are două rădăcini reale: și , adică x 1 =−3 și x 2 =1/3.

Din aceasta este clar că parabola intersectează axa Ox în două puncte cu abscisele −3 și 1/3. Vom reprezenta aceste puncte în desen ca puncte obișnuite, deoarece rezolvăm o inegalitate nestrictă. Conform datelor clarificate, obținem următorul desen (se potrivește cu primul șablon din primul paragraf al articolului):

Trecem la a doua etapă a algoritmului. Deoarece rezolvăm o inegalitate pătratică nestrictă cu semnul ≤, trebuie să determinăm intervalele la care parabola este situată sub axa absciselor și să le adăugăm abscisele punctelor de intersecție.

Din desen se vede că parabola se află sub abscisă în intervalul (−3, 1/3) și îi adăugăm abscisele punctelor de intersecție, adică numerele −3 și 1/3. Ca rezultat, ajungem la segmentul numeric [−3, 1/3] . Aceasta este soluția dorită. Poate fi scrisă ca o dublă inegalitate −3≤x≤1/3 .

Răspuns:

[−3, 1/3] sau −3≤x≤1/3 .

Exemplu.

Găsiți o soluție pentru inegalitatea pătratică −x 2 +16 x−63<0 .

Soluţie.

Ca de obicei, începem cu un desen. Coeficientul numeric pentru pătratul variabilei este negativ, −1, prin urmare, ramurile parabolei sunt îndreptate în jos. Să calculăm discriminantul, sau mai bine, a patra parte a acestuia: D"=8 2 −(−1)(−63)=64−63=1. Valoarea sa este pozitivă, calculăm rădăcinile trinomului pătrat: și , x 1 =7 și x 2 =9. Deci parabola intersectează axa Ox în două puncte cu abscisele 7 și 9 (inegalitatea inițială este strictă, așa că vom reprezenta aceste puncte cu un centru gol). Acum putem face un desen schematic:

Deoarece rezolvăm o inegalitate pătratică cu semn strict<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

Desenul arată că soluțiile inegalității pătratice originale sunt două intervale (−∞, 7) , (9, +∞) .

Răspuns:

(−∞, 7)∪(9, +∞) sau în altă notație x<7 , x>9 .

Când rezolvați inegalitățile pătrate, când discriminantul unui trinom pătrat de pe partea stângă este egal cu zero, trebuie să aveți grijă la includerea sau excluderea abscisei punctului tangent din răspuns. Depinde de semnul inegalității: dacă inegalitatea este strictă, atunci nu este o soluție a inegalității, iar dacă este nestrictă, atunci este.

Exemplu.

Are inegalitatea pătratică 10 x 2 −14 x+4.9≤0 cel puțin o soluție?

Soluţie.

Să reprezentăm grafic funcția y=10 x 2 −14 x+4.9 . Ramurile sale sunt îndreptate în sus, deoarece coeficientul la x 2 este pozitiv și atinge abscisa în punctul cu abscisa 0,7, deoarece D "=(−7) 2 −10 4,9=0, de unde sau 0,7 ca zecimală. Schematic, arată astfel:

Deoarece rezolvăm o inegalitate pătratică cu semnul ≤, atunci soluția ei va fi intervalele la care parabola se află sub axa Ox, precum și abscisa punctului tangent. Din desen se poate observa că nu există un singur gol în care parabola ar fi sub axa Ox, prin urmare, soluția sa va fi doar abscisa punctului de contact, adică 0,7.

Răspuns:

această inegalitate are o soluţie unică 0.7 .

Exemplu.

Rezolvați inegalitatea pătratică –x 2 +8 x−16<0 .

Soluţie.

Acționăm conform algoritmului de rezolvare a inegalităților pătratice și începem prin a reprezenta un grafic. Ramurile parabolei sunt îndreptate în jos, deoarece coeficientul la x 2 este negativ, −1. Aflați discriminantul trinomului pătrat –x 2 +8 x−16 , avem D'=4 2 −(−1)(−16)=16−16=0și mai departe x 0 =−4/(−1) , x 0 =4 . Deci, parabola atinge axa Ox în punctul cu abscisa 4 . Hai sa facem un desen:

Ne uităm la semnul inegalității originale, așa este<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

În cazul nostru, acestea sunt raze deschise (−∞, 4) , (4, +∞) . Separat, observăm că 4 - abscisa punctului tangent - nu este o soluție, deoarece în punctul tangent parabola nu este mai mică decât axa Ox.

Răspuns:

(−∞, 4)∪(4, +∞) sau în altă notație x≠4 .

Acordați o atenție deosebită cazurilor în care discriminantul trinomului pătrat din partea stângă a inegalității pătratului este mai mic decât zero. Nu este nevoie să ne grăbim aici și să spunem că inegalitatea nu are soluții (obișnuim să facem o astfel de concluzie pentru ecuațiile pătratice cu discriminant negativ). Ideea este că inegalitatea pătratică pentru D<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

Exemplu.

Aflați soluția inegalității pătratice 3 x 2 +1>0 .

Soluţie.

Ca de obicei, începem cu un desen. Coeficientul a este 3, este pozitiv, prin urmare, ramurile parabolei sunt îndreptate în sus. Calculați discriminantul: D=0 2 −4 3 1=−12 . Deoarece discriminantul este negativ, parabola nu are puncte comune cu axa x. Informațiile obținute sunt suficiente pentru o diagramă schematică:

Rezolvăm o inegalitate pătratică strictă cu semnul >. Soluția sa vor fi toate intervalele în care parabola se află deasupra axei Ox. În cazul nostru, parabola se află deasupra axei x pe toată lungimea ei, deci soluția dorită va fi mulțimea tuturor numerelor reale.

Ox și, de asemenea, trebuie să adăugați abscisa punctelor de intersecție sau abscisa punctului de atingere. Dar desenul arată clar că nu există astfel de goluri (deoarece parabola este peste tot sub axa absciselor), precum și nu există puncte de intersecție, la fel cum nu există puncte de contact. Prin urmare, inegalitatea pătratică originală nu are soluții.

Răspuns:

nu există soluții sau în altă notație ∅.

Bibliografie.

• Algebră: manual pentru 8 celule. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M. : Educaţie, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algebră: Clasa a 9-a: manual. pentru învăţământul general instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M. : Educație, 2009. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Mordkovich A.G. Algebră. clasa a 8-a. La 14:00 Partea 1. Un manual pentru studenții instituțiilor de învățământ / A. G. Mordkovich. - Ed. a XI-a, șters. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Mordkovich A.G. Algebră. Clasa a 9-a La ora 14:00 Partea 1. Un manual pentru studenții instituțiilor de învățământ / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Ed. a XIII-a, Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.
• Mordkovich A.G. Algebra și începutul analizei matematice. Clasa a 11a. La ora 14:00 Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ (nivel de profil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Ed. a II-a, șters. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: ill. ISBN 978-5-346-01027-2.

Rezolvarea grafică a ecuațiilor, inegalităților, sistemelor cu un parametru (algebră și începutul analizei) Cuprins

I. Introducere

II. Ecuații cu parametri.

§ 1. Definiţii.

§ 2. Algoritm de rezolvare.

§ 3. Exemple.

III. Inegalități cu parametrii.

§ 1. Definiţii.

§ 2. Algoritm de rezolvare.

§ 3. Exemple.

IV. Bibliografie.

Introducere

Studiul multor procese fizice și modele geometrice duce adesea la rezolvarea problemelor cu parametrii. Unele universități includ, de asemenea, ecuații, inegalități și sistemele lor în biletele de examen, care sunt adesea foarte complexe și necesită o abordare non-standard pentru rezolvare. La școală, aceasta dintre cele mai dificile secțiuni ale cursului de matematică școlară este luată în considerare doar în câteva clase opționale.

Pregătind această lucrare, mi-am propus un studiu mai profund al acestei teme, identificând cea mai rațională soluție care să conducă rapid la un răspuns. După părerea mea, metoda grafică este o modalitate convenabilă și rapidă de a rezolva ecuații și inegalități cu parametri.

În eseul meu, sunt luate în considerare tipurile de ecuații, inegalitățile și sistemele lor frecvent întâlnite și sper că cunoștințele pe care le-am dobândit în procesul muncii mă vor ajuta la promovarea examenelor școlare și la intrarea la universitate.

§ 1. Definiţii de bază

Luați în considerare ecuația

¦ (a, b, c, …, k , x)=j (a, b, c, …, k , x), (1)

unde a, b, c, …, k, x sunt variabile.

Orice sistem de valori variabile

a = a0, b = b0, c = c0, …, k = k0, x = x0,

la care ambele părți din stânga și din dreapta acestei ecuații iau valori reale, se numește sistemul de valori admisibile ale variabilelor a, b, c, ..., k, x. Fie A setul tuturor valorilor admisibile ale lui a, B să fie mulțimea tuturor valorilor admisibile ale lui b etc., X să fie mulțimea tuturor valorilor admisibile ale lui x, adică. aО А, bО B, …, xО X. Dacă pentru fiecare dintre mulțimile A, B, C, …, K alegem și fixăm, respectiv, o valoare a, b, c, …, k și le înlocuim în ecuație ( 1), atunci obținem o ecuație pentru x, adică ecuație cu o necunoscută.

Variabilele a, b, c, ..., k, care sunt considerate constante la rezolvarea ecuației, se numesc parametri, iar ecuația în sine se numește o ecuație care conține parametri.

Parametrii sunt notați prin primele litere ale alfabetului latin: a, b, c, d, …, k, l, m, n, iar cei necunoscuti cu literele x, y, z.

A rezolva o ecuație cu parametri înseamnă a indica la ce valori ale parametrilor există soluții și care sunt acestea.

Se spune că două ecuații care conțin aceiași parametri sunt echivalente dacă:

a) au sens pentru aceleași valori ale parametrilor;

b) fiecare soluție a primei ecuații este o soluție a celei de-a doua și invers.

§ 2. Algoritm de rezolvare. Aflați domeniul ecuației. Exprimăm a în funcție de x. În sistemul de coordonate xOa, construim un grafic al funcției a \u003d ¦ (x) pentru acele valori x \u200b\u200bcare sunt incluse în domeniul de definire al acestei ecuații.

Găsim punctele de intersecție ale dreptei a=c, unde cÎ (-¥ ;+¥) cu graficul funcției a=¦ (x).Dacă dreapta a=c intersectează graficul a=¦ (x) , apoi determinăm abscisele punctelor de intersecție. Pentru a face acest lucru, este suficient să rezolvați ecuația a \u003d ¦ (x) în raport cu x.

Scriem răspunsul. § 3. Exemple

I. Rezolvați ecuația

Deoarece x \u003d 0 nu este rădăcina ecuației, atunci putem rezolva ecuația pentru a:

sau

Graficul funcției este două hiperbole „lipite”. Numărul de soluții ale ecuației inițiale este determinat de numărul de puncte de intersecție ale dreptei construite și ale dreptei y=a.

Dacă a Î (-¥ ;-1]È (1;+¥)È , atunci dreapta y=a intersectează într-un punct graficul ecuației (1). Vom găsi abscisa acestui punct la rezolvarea ecuației pentru X.

Astfel, pe acest interval, ecuația (1) are soluția .

Dacă a н , atunci linia y=a intersectează graficul ecuației (1) în două puncte. Abcisele acestor puncte pot fi găsite din ecuațiile și , primim

Și .

Dacă a н , atunci linia y=a nu intersectează graficul ecuației (1), deci nu există soluții.

Dacă un О (-¥ ;-1]È (1;+¥)È , atunci ;

Dacă un н, atunci, ;

Dacă a н , atunci nu există soluții.

II. Găsiți toate valorile parametrului a pentru care ecuația are trei rădăcini diferite.

Rescriind ecuația în formă și luând în considerare o pereche de funcții, puteți observa că valorile dorite ale parametrului a și numai ele vor corespunde acelor poziții ale graficului funcției la care are exact trei puncte de intersecție cu graficul funcției .

În sistemul de coordonate xOy, graficăm funcția ). Pentru a face acest lucru, o putem reprezenta sub formă și, luând în considerare patru cazuri apărute, scriem această funcție sub forma

Deoarece graficul funcției este o dreaptă care are un unghi de înclinare față de axa Ox egal cu , și intersectează axa Oy într-un punct cu coordonatele (0, a), concluzionăm că cele trei puncte de intersecție indicate pot fi obținute numai dacă această linie atinge graficul funcției. Deci găsim derivata

III. Găsiți toate valorile parametrului a, pentru fiecare dintre ele sistemul de ecuații

are solutii.

Din prima ecuație a sistemului obținem Prin urmare, această ecuație definește o familie de „semi-parabole” - ramurile drepte ale parabolei „alunecare” vârfuri de-a lungul axei x.

Selectați pătratele complete din partea stângă a celei de-a doua ecuații și factorizați-o

Mulțimea punctelor planului care satisfac a doua ecuație sunt două drepte

Să aflăm pentru ce valori ale parametrului o curbă din familia „semi-parabole” are cel puțin un punct comun cu una dintre liniile drepte obținute.

Dacă vârfurile semi-parabolelor sunt la dreapta punctului A, dar la stânga punctului B (punctul B corespunde vârfului acelei „semi-parabole” care atinge

linie dreaptă), atunci graficele luate în considerare nu au puncte comune. Dacă vârful „semi-parabolei” coincide cu punctul A, atunci .

Cazul de tangență a „semi-parabolei” cu linia dreaptă este determinat din condiția existenței unei soluții unice a sistemului

În acest caz, ecuația

are o singură rădăcină, din care găsim:

Prin urmare, sistemul original nu are soluții pentru , și pentru sau are cel puțin o soluție.

Răspuns: a Î (-¥ ;-3] È (;+¥).

IV. rezolva ecuatia

Folosind egalitatea , rescriem ecuația dată în forma

Această ecuație este echivalentă cu sistemul

Ecuația rescrie în formă

. (*)

Ultima ecuație este cel mai ușor de rezolvat folosind considerații geometrice. Să reprezentăm graficele funcțiilor și Din grafic rezultă că atunci când graficele nu se intersectează și, prin urmare, ecuația nu are soluții.

Dacă , atunci pentru graficele funcțiilor coincid și, prin urmare, toate valorile sunt soluții ale ecuației (*).

Când graficele se intersectează într-un punct, a cărui abscisă este . Astfel, pentru ecuația (*) are o soluție unică - .

Să investigăm acum pentru ce valori ale unei soluții găsite ale ecuației (*) vor îndeplini condițiile

Să , atunci . Sistemul va lua forma

Soluția sa va fi intervalul хО (1;5). Având în vedere că, putem concluziona că pentru ecuația inițială satisface toate valorile lui x din intervalul LdupMRRR_v0","6oehycq06vo","BrZwB1YxUb4","Fy344XYM0iU"],"de":["k8ktq9Xdvec","ivM1ChdU_Y", "-0xrEBYUawU","kB-v5bnrmqE","b95S0Cc5w8w","lQvI-g4z51s", "nYqvIeotpuY","ivM1ChdU_YQ"],"es":["bGCVWqQiy84","xrwXdFCV0","xrwXdFCVw1XdfcVm","xrwXdFCVw1W1XdVz" ,"bGCVWqQiy84","xrwXdFCV1W0","jstxTo35ma0","8zIzVmdzFQ4","bGCV8q4" "SzgfLDmKg50"],"pt":["xrwXdFCV1W0","PbKjJGC4J4JKVc","dGCVY_YQQI","dGCVY_yQQVm","dGCVY_yQKVm","dGCVY_y4JKVm","dGCVY_y4JKVm","dGCVY_4JKQ "SzgfLDmKg50","r2aPq70aeAE"],"fr":["4k_8AvsOixc","bZp8ZuBBi ","bZqZuBBiKp8"],"it":["4LLxOsw_HdU","ICpOWtWjPoY","ICpOWtWjPoY","CpOWtWjPoY","4cTdL","-J10adL","-J10adL","-J10adL"," "GXqvcxfVRb8"],"pl":["1Lcrn7NpuIs","vmnSqZ675jw","q7v -WmhHbyA","L0m6K70tK2Y","1Lcrn7NpuIs","vmnSqZ675jw","q7v-WmhHby","q7v-WmhHbyA","7V-WmhHbyA","7N1SqHbyA","7N-WmhHbyA","7N7NpuIs"," "],"ro":["uaXpcdZxcJk"],"lt":["EUOHseV_5x0 ","LZSV2FNnov4","_WVCh76nrFs","iFsdtOAxDKk"])