Dobesedni izraz (ali spremenljiv izraz) je matematični izraz, ki je sestavljen iz številk, črk in matematičnih simbolov. Naslednji izraz je na primer dobeseden:
a+b+4
Z uporabo abecednih izrazov lahko pišete zakone, formule, enačbe in funkcije. Sposobnost manipuliranja s črkovnimi izrazi je ključ do dobrega poznavanja algebre in višje matematike.
Vsak resen problem v matematiki se zmanjša na reševanje enačb. In da bi lahko rešili enačbe, morate znati delati z dobesednimi izrazi.
Za delo z dobesednimi izrazi morate dobro poznati osnove aritmetike: seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje, osnovne zakone matematike, ulomke, operacije z ulomki, razmerja. In ne samo študirati, ampak temeljito razumeti.
Vsebina lekcijeSpremenljivke
Črke, ki so vsebovane v dobesednih izrazih, se imenujejo spremenljivke. Na primer v izrazu a+b+ 4 spremenljivke so črke a in b. Če zamenjamo poljubna števila namesto teh spremenljivk, potem dobesedni izraz a+b+ 4 se bo spremenil v številski izraz, katerega vrednost je mogoče najti.
Števila, ki so nadomeščena s spremenljivkami, se imenujejo vrednosti spremenljivk. Na primer, spremenimo vrednosti spremenljivk a in b. Za spreminjanje vrednosti se uporablja znak enačaja
a = 2, b = 3
Spremenili smo vrednosti spremenljivk a in b. Spremenljivka a dodeljena vrednost 2 , spremenljivka b dodeljena vrednost 3 . Kot rezultat, dobesedni izraz a+b+4 spremeni v običajni številski izraz 2+3+4 katerega vrednost je mogoče najti:
Ko spremenljivke pomnožimo, jih zapišemo skupaj. Na primer, zapis ab pomeni enako kot vnos a×b. Če zamenjamo spremenljivke a in bštevilke 2 in 3 , potem dobimo 6
Množenje števila z izrazom lahko zapišeš tudi skupaj v oklepaju. Na primer, namesto a×(b + c) se da zapisati a(b + c). Z uporabo distribucijskega zakona množenja dobimo a(b + c)=ab+ac.
kvote
V dobesednih izrazih lahko pogosto najdete zapis, v katerem sta na primer število in spremenljivka zapisani skupaj 3a. To je pravzaprav okrajšava za množenje števila 3 s spremenljivko. a in ta vnos izgleda takole 3×a .
Z drugimi besedami, izraz 3a je produkt števila 3 in spremenljivke a. številka 3 pri tem delu imenujejo koeficient. Ta koeficient kaže, kolikokrat se bo spremenljivka povečala a. Ta izraz se lahko bere kot " a trikrat" ali "trikrat A« ali »povečajte vrednost spremenljivke a trikrat", vendar se največkrat bere kot "tri a«
Na primer, če spremenljivka a enako 5 , nato vrednost izraza 3a bo enako 15.
3 × 5 = 15
Preprosto povedano, koeficient je število, ki se pojavi pred črko (pred spremenljivko).
Lahko je na primer več črk 5abc. Tu je koeficient število 5 . Ta koeficient kaže, da je produkt spremenljivk abc poveča za petkrat. Ta izraz se lahko bere kot " abc petkrat" ali "povečajte vrednost izraza abc petkrat" ali "pet abc «.
Če namesto spremenljivk abc zamenjajte številke 2, 3 in 4, nato vrednost izraza 5abc bo enakovreden 120
5 × 2 × 3 × 4 = 120
V mislih si lahko predstavljate, kako so bila števila 2, 3 in 4 najprej pomnožena in dobljena vrednost se je petkrat povečala:
Predznak koeficienta se nanaša samo na koeficient in ne velja za spremenljivke.
Razmislite o izrazu −6b. Minus pred koeficientom 6 , velja samo za koeficient 6 , in ne pripada spremenljivki b. Razumevanje tega dejstva vam bo omogočilo, da v prihodnosti ne delate napak z znaki.
Poiščimo vrednost izraza −6b pri b = 3.
−6b −6×b. Za jasnost zapišimo izraz −6b v razširjeni obliki in nadomestite vrednost spremenljivke b
−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18
Primer 2. Poiščite vrednost izraza −6b pri b = −5
Zapišimo izraz −6b v razširjeni obliki
−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30
Primer 3. Poiščite vrednost izraza −5a+b pri a = 3 in b = 2
−5a+b to je kratka oblika za −5 × a + b, zato zaradi jasnosti zapišemo izraz −5×a+b v razširjeni obliki in nadomestite vrednosti spremenljivk a in b
−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13
Včasih so črke napisane brez koeficienta, na primer a oz ab. V tem primeru je koeficient enota:
vendar tradicionalno enota ni zapisana, zato preprosto napišejo a oz ab
Če je pred črko minus, je koeficient številka −1 . Na primer, izraz −a dejansko izgleda −1a. To je produkt minus ena in spremenljivke a. Izkazalo se je takole:
−1 × a = −1a
Tukaj je majhen ulov. V izrazu −a znak minus pred spremenljivko a dejansko nanaša na "nevidno enoto" in ne na spremenljivko a. Zato morate biti pri reševanju težav previdni.
Na primer, če je podan izraz −a in prosimo, da ugotovimo njegovo vrednost pri a = 2, potem smo v šoli namesto spremenljivke zamenjali dvojko a in prejel odgovor −2 , ne da bi se preveč osredotočal na to, kako se je izkazalo. Pravzaprav je bil minus ena pomnožen s pozitivnim številom 2
−a = −1 × a
−1 × a = −1 × 2 = −2
Če je podan izraz −a in morate najti njegovo vrednost pri a = −2, potem zamenjamo −2 namesto spremenljivke a
−a = −1 × a
−1 × a = −1 × (−2) = 2
Da bi se izognili napakam, lahko sprva nevidne enote eksplicitno zapišemo.
Primer 4. Poiščite vrednost izraza abc pri a=2 , b=3 in c=4
Izraz abc 1×a×b×c. Za jasnost zapišimo izraz abc a, b in c
1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24
Primer 5. Poiščite vrednost izraza abc pri a=−2 , b=−3 in c=−4
Zapišimo izraz abc v razširjeni obliki in nadomestite vrednosti spremenljivk a, b in c
1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24
Primer 6. Poiščite vrednost izraza − abc pri a=3, b=5 in c=7
Izraz − abc to je kratka oblika za −1×a×b×c. Za jasnost zapišimo izraz − abc v razširjeni obliki in nadomestite vrednosti spremenljivk a, b in c
−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105
Primer 7. Poiščite vrednost izraza − abc pri a=−2 , b=−4 in c=−3
Zapišimo izraz − abc v razširjeni obliki:
−abc = −1 × a × b × c
Zamenjajmo vrednosti spremenljivk a , b in c
−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24
Kako določiti koeficient
Včasih morate rešiti problem, v katerem morate določiti koeficient izraza. Načeloma je ta naloga zelo preprosta. Dovolj je, da znamo pravilno množiti števila.
Če želite določiti koeficient v izrazu, morate ločeno pomnožiti številke, vključene v ta izraz, in ločeno pomnožiti črke. Dobljeni numerični faktor bo koeficient.
Primer 1. 7m×5a×(−3)×n
Izraz je sestavljen iz več dejavnikov. To je jasno razvidno, če izraz napišete v razširjeni obliki. Se pravi, deluje 7m in 5a zapišite v obrazec 7×m in 5×a
7 × m × 5 × a × (−3) × n
Uporabimo asociativni zakon množenja, ki omogoča množenje faktorjev v poljubnem vrstnem redu. In sicer bomo posebej množili števila in posebej črke (spremenljivke):
−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105 človek
Koeficient je −105 . Po zaključku je priporočljivo, da del črk uredite po abecednem vrstnem redu:
−105 zjutraj
Primer 2. Določite koeficient v izrazu: −a×(−3)×2
−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a
Koeficient je 6.
Primer 3. Določite koeficient v izrazu: 
Ločeno pomnožimo številke in črke:
Koeficient je −1. Upoštevajte, da enota ni zapisana, saj je običajno, da koeficienta 1 ne zapišemo.
Ta na videz najpreprostejša opravila se lahko z nami zelo kruto šalijo. Pogosto se izkaže, da je predznak koeficienta nastavljen nepravilno: ali manjka minus ali pa je, nasprotno, nastavljen zaman. Da bi se izognili tem nadležnim napakam, ga je treba preučiti na dobri ravni.
Seštevki v dobesednih izrazih
Pri seštevanju več števil dobimo vsoto teh števil. Števila, ki seštevajo, imenujemo seštevalci. Izrazov je lahko več, npr.
1 + 2 + 3 + 4 + 5
Ko je izraz sestavljen iz členov, ga je veliko lažje ovrednotiti, ker je seštevanje lažje kot odštevanje. Toda izraz lahko vsebuje ne samo seštevanje, ampak tudi odštevanje, na primer:
1 + 2 − 3 + 4 − 5
V tem izrazu sta števili 3 in 5 odštevanca, ne seštevka. Toda nič nam ne preprečuje, da bi odštevanje nadomestili s seštevanjem. Potem spet dobimo izraz, sestavljen iz členov:
1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)
Ni pomembno, da imata števili −3 in −5 zdaj znak minus. Glavna stvar je, da so vse številke v tem izrazu povezane z znakom dodatka, to je, da je izraz vsota.
Oba izraza 1 + 2 − 3 + 4 − 5 in 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) enako enaki vrednosti - minus ena
1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1
1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1
Tako pomen izraza ne bo trpel, če bomo nekje odštevanje nadomestili s seštevanjem.
Odštevanje lahko zamenjate tudi z seštevanjem v dobesednih izrazih. Na primer, upoštevajte naslednji izraz:
7a + 6b − 3c + 2d − 4s
7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)
Za poljubne vrednosti spremenljivk a, b, c, d in s izrazi 7a + 6b − 3c + 2d − 4s in 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) bo enaka enaki vrednosti.
Pripravljeni morate biti na dejstvo, da lahko učitelj v šoli ali učitelj na inštitutu pokliče soda števila (ali spremenljivke), ki niso seštevalci.
Na primer, če je razlika zapisana na tabli a − b, potem učitelj tega ne bo rekel a je minuend in b- odštevanje. Obe spremenljivki bo poklical z eno skupno besedo - pogoji. In vse zaradi izražanja oblike a − b matematik vidi, kako vsota a+(−b). V tem primeru izraz postane vsota in spremenljivke a in (-b) postanejo pogoji.
Podobni izrazi
Podobni izrazi- to so izrazi, ki imajo enak črkovni del. Na primer, upoštevajte izraz 7a + 6b + 2a. Komponente 7a in 2a imajo enak črkovni del – spremenljivko a. Torej pogoji 7a in 2a so podobni.
Običajno so podobni izrazi dodani za poenostavitev izraza ali reševanje enačbe. Ta operacija se imenuje prinaša podobne pogoje.
Če želite prinesti podobne izraze, morate sešteti koeficiente teh izrazov in dobljeni rezultat pomnožiti s skupnim črkovnim delom.
Na primer, predstavimo podobne izraze v izrazu 3a + 4a + 5a. V tem primeru so vsi izrazi podobni. Seštejmo njihove koeficiente in rezultat pomnožimo s skupnim črkovnim delom – s spremenljivko a
3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a
Običajno se spomnimo podobnih izrazov in takoj zapišemo rezultat:
3a + 4a + 5a = 12a
Poleg tega lahko sklepamo na naslednji način:
Spremenljivke a so bile 3, dodane so bile še 4 spremenljivke a in še 5 spremenljivk a. Kot rezultat smo dobili 12 spremenljivk a
Oglejmo si nekaj primerov prinašanja podobnih izrazov. Glede na to, da je tema zelo pomembna, bomo najprej podrobno zapisali vsako malenkost. Čeprav je tukaj vse zelo preprosto, večina ljudi dela veliko napak. Predvsem zaradi nepazljivosti, ne neznanja.
Primer 1. 3a+ 2a+ 6a+ 8a
Seštejmo koeficiente v tem izrazu in dobljeni rezultat pomnožimo s skupnim črkovnim delom:
3a+ 2a+ 6a+ 8a=(3 + 2 + 6 + 8)× a = 19a
Gradnja (3 + 2 + 6 + 8) ×a Ni vam treba zapisati, zato bomo odgovor zapisali takoj
3 a+ 2 a+ 6 a+ 8 a = 19 a
Primer 2. Podajte podobne izraze v izrazu 2a+a
Drugi mandat a napisano brez koeficienta, v resnici pa je pred njim koeficient 1 , ki ga ne vidimo, ker ni posnet. Torej je izraz videti takole:
2a + 1a
Zdaj pa predstavimo podobne izraze. To pomeni, da seštejemo koeficiente in rezultat pomnožimo s skupnim črkovnim delom:
2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a
Na kratko zapišimo rešitev:
2a + a = 3a
2a+a, lahko razmišljate drugače:
Primer 3. Podajte podobne izraze v izrazu 2a−a
Zamenjajmo odštevanje s seštevanjem:
2a + (−a)
Drugi mandat (-a) napisano brez koeficienta, v resnici pa izgleda tako (−1a). Koeficient −1 spet neviden zaradi dejstva, da ni posnet. Torej je izraz videti takole:
2a + (−1a)
Zdaj pa predstavimo podobne izraze. Seštejmo koeficiente in rezultat pomnožimo s skupnim črkovnim delom:
2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a
Običajno napisano krajše:
2a − a = a
Podajanje podobnih izrazov v izrazu 2a−a Lahko razmišljate drugače:
Bili sta 2 spremenljivki a, odštejemo eno spremenljivko a in posledično je ostala samo ena spremenljivka a
Primer 4. Podajte podobne izraze v izrazu 6a − 3a + 4a − 8a
6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)
Zdaj pa predstavimo podobne izraze. Seštejmo koeficiente in rezultat pomnožimo s skupnim črkovnim delom
(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a
Na kratko zapišimo rešitev:
6a − 3a + 4a − 8a = −a
Obstajajo izrazi, ki vsebujejo več različnih skupin podobnih izrazov. na primer 3a + 3b + 7a + 2b. Za take izraze veljajo enaka pravila kot za druge, in sicer seštevanje koeficientov in množenje dobljenega rezultata s skupnim črkovnim delom. Toda da bi se izognili napakam, je priročno poudariti različne skupine izrazov z različnimi črtami.
Na primer v izrazu 3a + 3b + 7a + 2b tisti izrazi, ki vsebujejo spremenljivko a, lahko podčrtamo z eno črto, ter tiste izraze, ki vsebujejo spremenljivko b, lahko poudarimo z dvema vrsticama:
Zdaj lahko predstavimo podobne izraze. Se pravi, dodajte koeficiente in dobljeni rezultat pomnožite s skupnim delom črke. To je treba narediti za obe skupini izrazov: za izraze, ki vsebujejo spremenljivko a in za izraze, ki vsebujejo spremenljivko b.
3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b
Spet ponavljamo, izraz je preprost in v mislih lahko navedemo podobne izraze:
3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b
Primer 5. Podajte podobne izraze v izrazu 5a − 6a −7b + b
Zamenjajmo odštevanje s seštevanjem, kjer je to mogoče:
5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b
Podobne izraze podčrtajmo z različnimi črtami. Izrazi, ki vsebujejo spremenljivke a podčrtamo z eno črto, ter izraze, ki vsebujejo spremenljivke b, podčrtaj z dvema črtama:
Zdaj lahko predstavimo podobne izraze. Se pravi, dodajte koeficiente in dobljeni rezultat pomnožite s skupnim delom črke:
5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)
Če izraz vsebuje navadna števila brez črkovnih faktorjev, se te seštevajo ločeno.
Primer 6. Podajte podobne izraze v izrazu 4a + 3a − 5 + 2b + 7
Zamenjajmo odštevanje s seštevanjem, kjer je to mogoče:
4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7
Predstavimo podobne izraze. Številke −5 in 7 nimajo črkovnih faktorjev, vendar so podobni izrazi - samo dodati jih je treba. In izraz 2b bo ostal nespremenjen, saj je edini v tem izrazu, ki ima faktor črke b, in ni kaj dodati:
4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2
Na kratko zapišimo rešitev:
4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2
Izrazi se lahko razvrstijo tako, da se tisti izrazi, ki imajo enak črkovni del, nahajajo v istem delu izraza.
Primer 7. Podajte podobne izraze v izrazu 5t+2x+3x+5t+x
Ker je izraz vsota več izrazov, nam to omogoča, da ga ovrednotimo v poljubnem vrstnem redu. Zato izrazi, ki vsebujejo spremenljivko t, lahko zapišemo na začetku izraza in izraze, ki vsebujejo spremenljivko x na koncu izraza:
5t + 5t + 2x + 3x + x
Zdaj lahko predstavimo podobne izraze:
5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x
Na kratko zapišimo rešitev:
5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x
Vsota nasprotnih števil je nič. To pravilo deluje tudi za dobesedne izraze. Če izraz vsebuje enake izraze, vendar z nasprotnimi znaki, se jih lahko znebite na stopnji zmanjševanja podobnih izrazov. Z drugimi besedami, preprosto jih izločite iz izraza, saj je njihova vsota enaka nič.
Primer 8. Podajte podobne izraze v izrazu 3t − 4t − 3t + 2t
Zamenjajmo odštevanje s seštevanjem, kjer je to mogoče:
3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t
Komponente 3t in (−3t) so nasprotni. Vsota nasprotnih členov je nič. Če iz izraza odstranimo to ničlo, se vrednost izraza ne bo spremenila, zato jo bomo odstranili. In odstranili ga bomo tako, da preprosto prečrtamo izraze 3t in (−3t)
Posledično nam bo ostal izraz (−4t) + 2t. V ta izraz lahko dodate podobne izraze in dobite končni odgovor:
(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t
Na kratko zapišimo rešitev:
Poenostavljanje izrazov
"poenostaviti izraz" in spodaj je izraz, ki ga je treba poenostaviti. Poenostavite izraz pomeni poenostaviti in skrajšati.
Pravzaprav smo že poenostavljali izraze, ko smo zmanjševali ulomke. Po zmanjšanju je ulomek postal krajši in lažje razumljiv.
Razmislite o naslednjem primeru. Poenostavite izraz.
To nalogo lahko dobesedno razumemo na naslednji način: "Uporabi vsa veljavna dejanja za ta izraz, vendar naj bo preprostejši." .
V tem primeru lahko ulomek zmanjšate, in sicer števec in imenovalec ulomka delite z 2:
Kaj še lahko narediš? Lahko izračunate dobljeni ulomek. Nato dobimo decimalni ulomek 0,5
Posledično je bil ulomek poenostavljen na 0,5.
Prvo vprašanje, ki si ga morate zastaviti pri reševanju tovrstnih težav, bi moralo biti "Kaj je mogoče storiti?" . Ker obstajajo dejanja, ki jih lahko storite, in so dejanja, ki jih ne morete storiti.
Druga pomembna točka, ki si jo morate zapomniti, je, da se pomen izraza po poenostavitvi izraza ne sme spremeniti. Vrnimo se k izrazu. Ta izraz predstavlja delitev, ki jo je mogoče izvesti. Po izvedbi te delitve dobimo vrednost tega izraza, ki je enaka 0,5
Izraz pa smo poenostavili in dobili nov poenostavljen izraz. Vrednost novega poenostavljenega izraza je še vedno 0,5
Poskušali pa smo izraz tudi poenostaviti tako, da smo ga izračunali. Kot rezultat smo prejeli končni odgovor 0,5.
Torej, ne glede na to, kako poenostavimo izraz, je vrednost dobljenih izrazov še vedno enaka 0,5. To pomeni, da je bila poenostavitev v vsaki fazi izvedena pravilno. Prav k temu moramo težiti pri poenostavljanju izrazov – pomen izraza ne sme trpeti zaradi naših dejanj.
Pogosto je treba dobesedne izraze poenostaviti. Zanje veljajo enaka pravila poenostavljanja kot za številske izraze. Izvajate lahko katera koli veljavna dejanja, če se vrednost izraza ne spremeni.
Poglejmo si nekaj primerov.
Primer 1. Poenostavite izraz 5,21 s × t × 2,5
Za poenostavitev tega izraza lahko ločeno pomnožite številke in ločeno pomnožite črke. Ta naloga je zelo podobna tisti, ki smo si jo ogledali, ko smo se učili določiti koeficient:
5,21 s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025 st
Torej izraz 5,21 s × t × 2,5 poenostavljeno na 13.025st.
Primer 2. Poenostavite izraz −0,4 × (−6,3b) × 2
Drugi kos (–6,3b) lahko prevedemo v nam razumljivo obliko, in sicer zapišemo v obliki ( −6,3)×b , nato ločeno pomnožite številke in posebej pomnožite črke:
− 0,4 × (−6,3b) × 2 = − 0,4 × (–6,3) × b × 2 = 5,04b
Torej izraz −0,4 × (−6,3b) × 2 poenostavljeno na 5.04b
Primer 3. Poenostavite izraz 
Napišimo ta izraz podrobneje, da jasno vidimo, kje so številke in kje so črke:
Sedaj pa pomnožimo številke ločeno in posebej pomnožimo črke:
Torej izraz poenostavljeno na −abc. To rešitev lahko na kratko zapišemo:
Pri poenostavljanju izrazov lahko ulomke skrčimo med postopkom reševanja in ne čisto na koncu, kot smo to storili pri navadnih ulomkih. Na primer, če med reševanjem naletimo na izraz v obliki , potem sploh ni potrebno izračunati števca in imenovalca in narediti nekaj takega:
Ulomek je mogoče skrajšati tako, da izberete faktor tako v števcu kot v imenovalcu in te faktorje zmanjšate za njihov največji skupni faktor. Z drugimi besedami, uporaba, pri kateri ne opišemo podrobneje, na kaj sta bila razdeljena števec in imenovalec.
Na primer, v števcu je faktor 12, v imenovalcu pa faktor 4 lahko zmanjšamo za 4. Štirico ohranimo v mislih in če 12 in 4 delimo s to štirico, zapišemo odgovore poleg teh števil, ko jih je najprej prečrtal
Zdaj lahko pomnožite nastale majhne faktorje. V tem primeru jih je malo in jih lahko pomnožite v mislih:
Sčasoma boste morda ugotovili, da se izrazi pri reševanju določenega problema začnejo "mastiti", zato je priporočljivo, da se navadite na hitre izračune. Kar je mogoče izračunati v mislih, je treba izračunati v mislih. Kar je mogoče hitro zmanjšati, je treba hitro zmanjšati.
Primer 4. Poenostavite izraz 
Torej izraz poenostavljeno na
Primer 5. Poenostavite izraz 
Pomnožimo številke posebej in črke posebej:
Torej izraz poenostavljeno na mn.
Primer 6. Poenostavite izraz 
Napišimo ta izraz podrobneje, da jasno vidimo, kje so številke in kje so črke:
Sedaj pa pomnožimo številke posebej in črke posebej. Za lažji izračun lahko decimalni ulomek −6,4 in mešano število pretvorimo v navadne ulomke:
Torej izraz poenostavljeno na
Rešitev tega primera lahko zapišemo veliko krajše. Videti bo takole:
Primer 7. Poenostavite izraz 
Ločeno pomnožimo števila in posebej črke. Za lažji izračun lahko mešana števila in decimalne ulomke 0,1 in 0,6 pretvorite v navadne ulomke:
Torej izraz poenostavljeno na abcd. Če preskočite podrobnosti, lahko to rešitev napišete veliko krajše:
Opazite, kako se je ulomek zmanjšal. Zmanjšati je dovoljeno tudi nove faktorje, ki nastanejo kot posledica zmanjšanja prejšnjih faktorjev.
Zdaj pa se pogovorimo o tem, česa ne smemo storiti. Pri poenostavljanju izrazov je strogo prepovedano množiti številke in črke, če je izraz vsota in ne zmnožek.
Na primer, če želite poenostaviti izraz 5a+4b, potem tega ne morete napisati takole:
To je enako, kot če bi nas prosili, da seštejemo dve števili in bi ju pomnožili, namesto da bi ju sešteli.
Pri zamenjavi katere koli vrednosti spremenljivke a in b izražanje 5a +4b spremeni v navaden številski izraz. Predpostavimo, da spremenljivke a in b imajo naslednje pomene:
a = 2, b = 3
Potem bo vrednost izraza enaka 22
5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22
Najprej se izvede množenje, nato pa se rezultati seštejejo. In če bi poskušali ta izraz poenostaviti z množenjem številk in črk, bi dobili naslednje:
5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab
20ab = 20 × 2 × 3 = 120
Izkazalo se je popolnoma drugačen pomen izraza. V prvem primeru je uspelo 22 , v drugem primeru 120 . To pomeni poenostavitev izraza 5a+4b je bila izvedena nepravilno.
Po poenostavitvi izraza se njegova vrednost ne sme spreminjati z enakimi vrednostmi spremenljivk. Če pri zamenjavi katere koli vrednosti spremenljivke v prvotni izraz dobimo eno vrednost, potem je treba po poenostavitvi izraza dobiti enako vrednost kot pred poenostavitvijo.
Z izrazom 5a+4b res ne moreš storiti ničesar. Ne poenostavlja.
Če izraz vsebuje podobne izraze, jih lahko dodamo, če je naš cilj poenostaviti izraz.
Primer 8. Poenostavite izraz 0,3a−0,4a+a
0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1)×a = 0,9a
ali krajše: 0,3a − 0,4a + a = 0,9a
Torej izraz 0,3a−0,4a+a poenostavljeno na 0,9a
Primer 9. Poenostavite izraz −7,5a − 2,5b + 4a
Za poenostavitev tega izraza lahko dodamo podobne izraze:
−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)
ali krajše −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)
Izraz (–2,5b) ostal nespremenjen, ker ga ni bilo s čim priložiti.
Primer 10. Poenostavite izraz 
Za poenostavitev tega izraza lahko dodamo podobne izraze:
Koeficient je bil za lažji izračun.
Torej izraz poenostavljeno na
Primer 11. Poenostavite izraz 
Za poenostavitev tega izraza lahko dodamo podobne izraze:
Torej izraz poenostavljeno na.
V tem primeru bi bilo primerneje najprej sešteti prvi in zadnji koeficient. V tem primeru bi imeli kratko rešitev. Videti bi bilo takole:
Primer 12. Poenostavite izraz 
Za poenostavitev tega izraza lahko dodamo podobne izraze:
Torej izraz poenostavljeno na 
.
Izraz je ostal nespremenjen, saj ga ni bilo kaj dodati.
To rešitev lahko zapišemo veliko krajše. Videti bo takole:
Kratka rešitev je preskočila korake zamenjave odštevanja s seštevanjem in podrobnosti o reduciranju ulomkov na skupni imenovalec.
Druga razlika je v tem, da je v podrobni rešitvi odgovor videti takole , ampak na kratko kot . Pravzaprav gre za isti izraz. Razlika je v tem, da je v prvem primeru odštevanje nadomeščeno s seštevanjem, saj smo na začetku, ko smo podrobno zapisali rešitev, povsod, kjer je bilo možno, zamenjali odštevanje s seštevanjem in to zamenjavo ohranili za odgovor.
Identitete. Identično enaki izrazi
Ko poljubni izraz poenostavimo, postane preprostejši in krajši. Če želite preveriti, ali je poenostavljeni izraz pravilen, je dovolj, da poljubne vrednosti spremenljivk najprej nadomestite s prejšnjim izrazom, ki ga je bilo treba poenostaviti, nato pa z novim, ki je bil poenostavljen. Če je vrednost v obeh izrazih enaka, potem je poenostavljeni izraz resničen.
Poglejmo preprost primer. Naj bo treba izraz poenostaviti 2a×7b. Za poenostavitev tega izraza lahko ločeno pomnožite številke in črke:
2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab
Preverimo, ali smo izraz pravilno poenostavili. Če želite to narediti, nadomestimo poljubne vrednosti spremenljivk a in b najprej v prvi izraz, ki ga je bilo treba poenostaviti, in nato v drugega, ki je bil poenostavljen.
Naj vrednosti spremenljivk a , b bo takole:
a = 4, b = 5
Nadomestimo jih v prvi izraz 2a×7b
Zdaj pa nadomestimo iste vrednosti spremenljivk v izraz, ki je rezultat poenostavitve 2a×7b, in sicer v izrazu 14ab
14ab = 14 × 4 × 5 = 280
To vidimo, ko a=4 in b=5 vrednost prvega izraza 2a×7b in pomen drugega izraza 14ab enaka
2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280
14ab = 14 × 4 × 5 = 280
Enako se bo zgodilo za vse druge vrednosti. Na primer, naj a=1 in b=2
2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 =28
14ab = 14 × 1 × 2 = 28
Tako za vse vrednosti izraznih spremenljivk 2a×7b in 14ab sta enaki isti vrednosti. Takšni izrazi se imenujejo identično enaka.
Sklepamo, da med izrazi 2a×7b in 14ab lahko postavite znak enačaja, ker sta enaki isti vrednosti.
2a × 7b = 14ab
Enakost je vsak izraz, ki je povezan z enačajem (=).
In enakost oblike 2a×7b = 14ab klical identiteta.
Identiteta je enakost, ki velja za vse vrednosti spremenljivk.
Drugi primeri identitet:
a + b = b + a
a(b+c) = ab + ac
a(bc) = (ab)c
Da, zakoni matematike, ki smo jih preučevali, so identitete.
Prave številske enakosti so tudi identitete. Na primer:
2 + 2 = 4
3 + 3 = 5 + 1
10 = 7 + 2 + 1
Pri reševanju kompleksnega problema se zaradi lažjega računanja kompleksen izraz nadomesti z enostavnejšim izrazom, ki je identično enak prejšnjemu. Ta zamenjava se imenuje enako preoblikovanje izraza ali preprosto preoblikovanje izraza.
Na primer, izraz smo poenostavili 2a×7b, in dobil preprostejši izraz 14ab. To poenostavitev lahko imenujemo transformacija identitete.
Pogosto lahko najdete nalogo, ki pravi "dokaži, da je enakost identiteta" in nato je podana enakost, ki jo je treba dokazati. Običajno je ta enačba sestavljena iz dveh delov: levega in desnega dela enačbe. Naša naloga je, da izvedemo identitetne transformacije z enim od delov enakosti in pridobimo drugi del. Ali pa izvedite enake transformacije na obeh straneh enakosti in se prepričajte, da obe strani enakosti vsebujeta enake izraze.
Na primer, dokažimo, da je enakost 0,5a × 5b = 2,5ab je identiteta.
Poenostavimo levo stran te enakosti. Če želite to narediti, ločeno pomnožite številke in črke:
0,5 × 5 × a × b = 2,5ab
2,5ab = 2,5ab
Zaradi majhne identitetne transformacije je leva stran enakosti postala enaka desni strani enakosti. Torej smo dokazali, da je enakost 0,5a × 5b = 2,5ab je identiteta.
Iz enakih preoblikovanj smo se naučili seštevati, odštevati, množiti in deliti števila, zmanjševati ulomke, seštevati podobne člene in tudi poenostaviti nekatere izraze.
Vendar to niso vse enake transformacije, ki obstajajo v matematiki. Enakih transformacij je še veliko. To bomo v prihodnosti videli večkrat.
Naloge za samostojno reševanje:
Vam je bila lekcija všeč?
Pridružite se naši novi skupini VKontakte in začnite prejemati obvestila o novih lekcijah
Izrazi, pretvorba izrazov
Potencialni izrazi (izrazi s potencami) in njihova transformacija
V tem članku bomo govorili o pretvarjanju izrazov s potencami. Najprej se bomo osredotočili na transformacije, ki se izvajajo z izrazi katere koli vrste, vključno s potenčnimi izrazi, kot je odpiranje oklepajev in prinašanje podobnih izrazov. Nato bomo analizirali transformacije, ki so značilne posebej za izraze s stopnjami: delo z osnovo in eksponentom, uporaba lastnosti stopinj itd.
Navigacija po straneh.
Kaj so izrazi moči?
Izraz "izrazi moči" se v šolskih učbenikih matematike praktično ne pojavlja, vendar se pogosto pojavlja v zbirkah problemov, zlasti tistih, ki so namenjene pripravi na enotni državni izpit in na primer enotni državni izpit. Po analizi nalog, pri katerih je potrebno izvajati kakršna koli dejanja s potenčnimi izrazi, postane jasno, da se potenčni izrazi razumejo kot izrazi, ki v svojih vnosih vsebujejo potence. Zato lahko zase sprejmete naslednjo definicijo:
Opredelitev.
Izrazi moči so izrazi, ki vsebujejo stopnje.
Dajmo primeri izrazov moči. Še več, predstavili jih bomo glede na to, kako poteka razvoj pogledov na stopnjo z naravnim eksponentom na stopnjo z realnim eksponentom.
Kot je znano, se najprej seznanimo s potenco števila z naravnim eksponentom, na tej stopnji so prvi najenostavnejši potencijski izrazi tipa 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0,1) 4, 3 a 2 se pojavi −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 itd.
Malo kasneje se preučuje potenca števila s celim eksponentom, kar privede do pojava potenčnih izrazov z negativnimi celimi potencami, kot so: 3 −2, 
, a −2 +2 b −3 +c 2 .
V srednji šoli se vrnejo k diplomam. Tam je uvedena stopnja z racionalnim eksponentom, ki povzroči pojav ustreznih izrazov moči: 
, , 
in tako naprej. Končno so upoštevane stopnje z iracionalnimi eksponenti in izrazi, ki jih vsebujejo: , .
Zadeva ni omejena na naštete potenčne izraze: naprej spremenljivka prodre v eksponent in nastanejo npr. naslednji izrazi: 2 x 2 +1 oz. 
. In po seznanitvi z , se začnejo pojavljati izrazi s potencami in logaritmi, na primer x 2·lgx −5·x lgx.
Ukvarjali smo se torej z vprašanjem, kaj predstavljajo izrazi moči. Nato se jih bomo naučili preoblikovati.
Glavne vrste transformacij potenčnih izrazov
S potenčnimi izrazi lahko izvedete katero koli od osnovnih identitetnih transformacij izrazov. Na primer, lahko odprete oklepaje, zamenjate številske izraze z njihovimi vrednostmi, dodate podobne izraze itd. Seveda je v tem primeru treba upoštevati sprejeti postopek za izvajanje dejanj. Navedimo primere.
Primer.
Izračunajte vrednost potenčnega izraza 2 3 ·(4 2 −12) .
rešitev.
Glede na vrstni red izvajanja dejanj najprej izvedite dejanja v oklepajih. Tam najprej zamenjamo potenco 4 2 z njeno vrednostjo 16 (če je treba, glej), in drugič izračunamo razliko 16−12=4. Imamo 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.
V dobljenem izrazu potenco 2 3 nadomestimo z njeno vrednostjo 8, nakar izračunamo produkt 8·4=32. To je želena vrednost.
Torej, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.
odgovor:
2 3 ·(4 2 −12)=32.
Primer.
Poenostavite izraze s potencami 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.
rešitev.
Očitno ta izraz vsebuje podobna člena 3·a 4 ·b −7 in 2·a 4 ·b −7 , ki ju lahko predstavimo: .
odgovor:
3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.
Primer.
Izrazi izraz s potencami kot produkt.
rešitev.
Nalogi se lahko spopadete tako, da število 9 predstavite kot potenco števila 3 2 in nato uporabite formulo za skrajšano množenje - razlika kvadratov: 
odgovor:
Obstajajo tudi številne enake transformacije, ki so lastne posebej izrazom moči. Analizirali jih bomo še naprej.
Delo z osnovo in eksponentom
Obstajajo stopnje, katerih osnova in/ali eksponent niso le števila ali spremenljivke, ampak nekateri izrazi. Kot primer podajamo vnose (2+0,3·7) 5−3,7 in (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .
Pri delu s takšnimi izrazi lahko nadomestite tako izraz v osnovi stopnje kot izraz v eksponentu z identično enakim izrazom v ODZ njegovih spremenljivk. Z drugimi besedami, po nam znanih pravilih lahko ločeno transformiramo osnovo stopnje in ločeno eksponent. Jasno je, da bo kot rezultat te transformacije pridobljen izraz, ki je identično enak prvotnemu.
Takšne transformacije nam omogočajo poenostavitev izrazov s pooblastili ali doseganje drugih ciljev, ki jih potrebujemo. Na primer, v zgoraj omenjenem potenčnem izrazu (2+0,3 7) 5−3,7 lahko izvajate operacije s števili v osnovi in eksponentu, kar vam bo omogočilo premik na potenco 4,1 1,3. In ko odpremo oklepaje in pripeljemo podobne člene na osnovo stopnje (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1), dobimo potenčni izraz enostavnejše oblike a 2·(x+ 1) .
Uporaba lastnosti stopnje
Eno od glavnih orodij za preoblikovanje izrazov s potencami so enakosti, ki odražajo . Spomnimo se glavnih. Za poljubna pozitivna števila a in b ter poljubni realni števili r in s veljajo naslednje lastnosti potence:
- a r ·a s =a r+s ;
- a r:a s =a r−s ;
- (a·b) r =a r ·b r ;
- (a:b) r =a r:b r ;
- (a r) s =a r·s .
Upoštevajte, da za naravne, cele in pozitivne eksponente omejitve števila a in b morda niso tako stroge. Na primer, za naravni števili m in n enakost a m ·a n =a m+n ne velja le za pozitivni a, ampak tudi za negativni a in za a=0.
V šoli je glavni poudarek pri transformaciji izrazov moči na sposobnosti izbire ustrezne lastnosti in njene pravilne uporabe. V tem primeru so baze stopinj običajno pozitivne, kar omogoča uporabo lastnosti stopinj brez omejitev. Enako velja za transformacijo izrazov, ki vsebujejo spremenljivke v bazah potenc - obseg dovoljenih vrednosti spremenljivk je običajno tak, da baze na njem zavzemajo samo pozitivne vrednosti, kar vam omogoča prosto uporabo lastnosti potenc . Na splošno se morate nenehno spraševati, ali je v tem primeru mogoče uporabiti katero koli lastnost diplom, saj lahko nepravilna uporaba lastnosti povzroči zoženje izobraževalne vrednosti in druge težave. Te točke so podrobno in s primeri obravnavane v članku transformacija izrazov z uporabo lastnosti potenc. Tu se bomo omejili na nekaj preprostih primerov.
Primer.
Izraz a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 izrazi kot potenco z osnovo a.
rešitev.
Najprej transformiramo drugi faktor (a 2) −3 z uporabo lastnosti dviga potence na potenco: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Prvotni izraz moči bo imel obliko a 2,5 ·a −6:a −5,5. Očitno ostaja uporaba lastnosti množenja in deljenja potenc z isto bazo, ki jo imamo
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .
odgovor:
a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.
Lastnosti potence pri preoblikovanju potencialnih izrazov se uporabljajo tako od leve proti desni kot od desne proti levi.
Primer.
Poiščite vrednost potenčnega izraza.
rešitev.
Enakost (a·b) r =a r ·b r, uporabljena od desne proti levi, nam omogoča prehod od prvotnega izraza k produktu oblike in naprej. In pri množenju potenc z enakimi osnovami se eksponenti seštejejo: 
.
Prvotni izraz je bilo mogoče preoblikovati na drug način: 
odgovor:
.
Primer.
Glede na potenčni izraz a 1,5 −a 0,5 −6 vnesite novo spremenljivko t=a 0,5.
rešitev.
Stopnjo a 1,5 lahko predstavimo kot 0,5 3 in jo nato na podlagi lastnosti stopnje na stopnjo (a r) s =a r s, uporabljeno od desne proti levi, pretvorimo v obliko (a 0,5) 3. torej a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Zdaj je enostavno uvesti novo spremenljivko t=a 0,5, dobimo t 3 −t−6.
odgovor:
t 3 −t−6 .
Pretvarjanje ulomkov s potenci
Izrazi moči lahko vsebujejo ali predstavljajo ulomke s potenci. Vse osnovne transformacije ulomkov, ki so del ulomkov katere koli vrste, so v celoti uporabne za takšne ulomke. To pomeni, da je ulomke, ki vsebujejo potence, mogoče zmanjšati, zmanjšati na nov imenovalec, delati ločeno z njihovim števcem in ločeno z imenovalcem itd. Za ponazoritev teh besed razmislite o rešitvah več primerov.
Primer.
Poenostavite izražanje moči 
.
rešitev.
Ta izraz moči je ulomek. Delajmo z njegovim števcem in imenovalcem. V števcu odpremo oklepaje in dobljeni izraz poenostavimo z uporabo lastnosti potenc, v imenovalcu pa predstavimo podobne izraze: 
In spremenimo tudi predznak imenovalca tako, da pred ulomek postavimo minus: 
.
odgovor:
.
Zmanjševanje ulomkov s potencami na nov imenovalec se izvede podobno kot zmanjševanje racionalnih ulomkov na nov imenovalec. V tem primeru najdemo tudi dodatni faktor in z njim pomnožimo števec in imenovalec ulomka. Pri izvajanju tega dejanja je vredno zapomniti, da lahko zmanjšanje na nov imenovalec povzroči zoženje VA. Da se to ne bi zgodilo, je potrebno, da dodatni faktor ne gre na nič za nobeno vrednost spremenljivk iz spremenljivk ODZ za prvotni izraz.
Primer.
Zmanjšaj ulomke na nov imenovalec: a) na imenovalec a, b) 
na imenovalec.
rešitev.
a) V tem primeru je precej enostavno ugotoviti, kateri dodatni množitelj pomaga doseči želeni rezultat. To je množitelj a 0,3, saj je a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Upoštevajte, da v območju dovoljenih vrednosti spremenljivke a (to je niz vseh pozitivnih realnih števil) moč a 0,3 ne izgine, zato imamo pravico pomnožiti števec in imenovalec danega ulomek s tem dodatnim faktorjem: 
b) Če natančneje pogledate imenovalec, boste ugotovili, da 
in množenje tega izraza z bo dalo vsoto kock in , to je . In to je novi imenovalec, na katerega moramo zmanjšati prvotni ulomek.
Tako smo našli dodaten dejavnik. V območju sprejemljivih vrednosti spremenljivk x in y izraz ne izgine, zato lahko z njim pomnožimo števec in imenovalec ulomka: 
odgovor:
A) 
, b) 
.
Prav tako ni nič novega pri zmanjševanju ulomkov s potencami: števec in imenovalec sta predstavljena kot več faktorjev, enaka faktorja števca in imenovalca pa sta zmanjšana.
Primer.
Zmanjšaj ulomek: a) 
, b) .
rešitev.
a) Prvič, števec in imenovalec lahko zmanjšamo s številoma 30 in 45, kar je enako 15. Očitno je tudi mogoče izvesti zmanjšanje za x 0,5 +1 in za 
. Tukaj je tisto, kar imamo: 
b) V tem primeru enaki faktorji v števcu in imenovalcu niso takoj vidni. Če jih želite pridobiti, boste morali izvesti predhodne transformacije. V tem primeru so sestavljeni iz faktoriziranja imenovalca z uporabo formule razlike kvadratov: 
odgovor:
A) 
b) 
.
Pretvarjanje ulomkov na nov imenovalec in zmanjševanje ulomkov se večinoma uporabljata za izvajanje stvari z ulomki. Dejanja se izvajajo po znanih pravilih. Pri seštevanju (odštevanju) se ulomki zreducirajo na skupni imenovalec, nakar se števci seštejejo (odštejejo), imenovalec pa ostane enak. Rezultat je ulomek, katerega števec je zmnožek števcev, imenovalec pa zmnožek imenovalcev. Deljenje z ulomkom je množenje z njegovim inverzom.
Primer.
Sledite korakom 
.
rešitev.
Najprej odštejemo ulomke v oklepajih. Da bi to naredili, jih spravimo na skupni imenovalec, ki je 
, nato pa odštejemo števce: 
Zdaj pomnožimo ulomke: 
Očitno je možno reducirati za potenco x 1/2, po kateri imamo 
.
Izraz moči v imenovalcu lahko tudi poenostavite z uporabo formule razlike kvadratov: 
.
odgovor:
Primer.
Poenostavite Power Expression 
.
rešitev.
Očitno lahko ta ulomek zmanjšamo za (x 2,7 +1) 2, kar daje ulomek 
. Jasno je, da je treba s pooblastili X narediti nekaj drugega. Da bi to naredili, dobljeni ulomek pretvorimo v produkt. To nam daje možnost, da izkoristimo lastnost delitve potenc z enakimi osnovami: 
. In na koncu procesa se premaknemo od zadnjega produkta do ulomka.
odgovor:
.
In dodajmo še, da je možno in v mnogih primerih zaželeno faktorje z negativnimi eksponenti prenesti s števca na imenovalec ali z imenovalca na števec, pri čemer eksponentu spremenimo predznak. Takšne transformacije pogosto poenostavijo nadaljnja dejanja. Izraz moči lahko na primer nadomestite z .
Pretvarjanje izrazov s koreni in potenci
Pogosto so v izrazih, v katerih so potrebne nekatere transformacije, poleg potenc prisotni tudi koreni z ulomki. Za preoblikovanje takega izraza v želeno obliko je v večini primerov dovolj, da gremo samo na korene ali samo na potence. Ker pa je bolj priročno delati s pooblastili, se običajno premikajo od korenin do pooblastil. Vendar je priporočljivo izvesti takšen prehod, ko vam ODZ spremenljivk za izvirni izraz omogoča zamenjavo korenov s potencami, ne da bi se morali sklicevati na modul ali razdeliti ODZ na več intervalov (o tem smo podrobno razpravljali v člen prehod s korenov na potence in nazaj Po seznanitvi s stopnjo z racionalnim eksponentom se uvede stopnja z iracionalnim eksponentom, ki nam omogoča, da govorimo o stopnji s poljubnim realnim eksponentom.Na tej stopnji šola začne študija eksponentna funkcija, ki je analitično podana s potenco, katere osnova je število, eksponent pa spremenljivka. Tako se soočamo s potenčnimi izrazi, ki vsebujejo števila v osnovi potence, v eksponentu pa izraze s spremenljivkami, in seveda se pojavi potreba po izvedbi transformacij takih izrazov.
Povedati je treba, da je treba transformacijo izrazov navedenega tipa običajno izvesti pri reševanju eksponentne enačbe in eksponentne neenakosti, in te pretvorbe so precej preproste. V veliki večini primerov temeljijo na lastnostih diplome in so večinoma usmerjeni v uvedbo nove spremenljivke v prihodnosti. Enačba nam jih bo omogočila, da jih pokažemo 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.
Prvič, potence, v eksponentih katerih je vsota določene spremenljivke (ali izraza s spremenljivkami) in števila, zamenjamo z produkti. To velja za prvi in zadnji člen izraza na levi strani:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.
Nato obe strani enakosti delimo z izrazom 7 2 x, ki na ODZ spremenljivke x za izvirno enačbo zavzame samo pozitivne vrednosti (to je standardna tehnika za reševanje enačb te vrste, nismo zdaj govorimo o tem, zato se osredotočite na nadaljnje transformacije izrazov s potencami ): 
Zdaj lahko prekličemo ulomke s potencami, kar daje 
.
Končno se razmerje potenc z enakimi eksponenti nadomesti s potencami relacij, kar ima za posledico enačbo 
, kar je enakovredno 
. Izvedene transformacije nam omogočajo uvedbo nove spremenljivke, ki reducira rešitev prvotne eksponentne enačbe na rešitev kvadratne enačbe
Pisanje pogojev problemov z uporabo zapisov, sprejetih v matematiki, vodi do pojava tako imenovanih matematičnih izrazov, ki jih preprosto imenujemo izrazi. V tem članku bomo podrobno govorili o številski, abecedni in spremenljivi izrazi: podali bomo definicije in podali primere izrazov vsake vrste.
Navigacija po straneh.
Številski izrazi - kaj so?
Spoznavanje številskih izrazov se začne skoraj od prvih lekcij matematike. Vendar uradno pridobijo svoje ime - številski izrazi - malo kasneje. Na primer, če sledite tečaju M. I. Moro, se to zgodi na straneh učbenika matematike za 2 razreda. Tam je ideja o številskih izrazih podana na naslednji način: 3+5, 12+1−6, 18−(4+6), 1+1+1+1+1 itd. - to je vse številski izrazi, in če izvedemo navedena dejanja v izrazu, bomo našli vrednost izraza.
Sklepamo lahko, da so na tej stopnji študija matematike številski izrazi zapisi z matematičnim pomenom, sestavljeni iz številk, oklepajev ter znakov za seštevanje in odštevanje.
Nekoliko kasneje, po seznanitvi z množenjem in deljenjem, začnejo zapisi številskih izrazov vsebovati znaka "·" in ":". Navedimo nekaj primerov: 6·4, (2+5)·2, 6:2, (9·3):3 itd.
In v srednji šoli raznolikost zapisov številskih izrazov raste kot snežna kepa, ki se vali z gore. Vsebujejo navadne in decimalne ulomke, mešana števila in negativna števila, potence, korene, logaritme, sinuse, kosinuse itd.
Povzemimo vse informacije v definicijo številskega izraza:
Opredelitev.
Številski izraz je kombinacija števil, znakov aritmetičnih operacij, ulomkov, znakov korenin (radikalov), logaritmov, zapisov za trigonometrične, inverzne trigonometrične in druge funkcije ter oklepajev in drugih posebnih matematičnih simbolov, sestavljenih v skladu s sprejetimi pravili v matematiki.
Razložimo vse sestavine navedene definicije.
Številski izrazi lahko vključujejo popolnoma katero koli število: od naravnih do realnih in celo kompleksnih. Se pravi, v številskih izrazih lahko najdemo
Z znaki aritmetičnih operacij je vse jasno - to so znaki seštevanja, odštevanja, množenja in deljenja, ki imajo obliko "+", "−", "·" in ":". Številski izrazi lahko vsebujejo enega od teh znakov, nekatere od njih ali vse naenkrat in poleg tega večkrat. Tu so primeri številskih izrazov z njimi: 3+6, 2,2+3,3+4,4+5,5, 41−2·4:2−5+12·3·2:2:3:12−1/12.
Kar zadeva oklepaje, obstajajo številski izrazi, ki vsebujejo oklepaje, in izrazi brez njih. Če so v številskem izrazu oklepaji, potem so v bistvu
In včasih imajo oklepaji v številskih izrazih določen, ločeno označen poseben namen. Na primer, lahko najdete oglate oklepaje, ki označujejo cel del števila, tako da številski izraz +2 pomeni, da je število 2 dodano celemu delu števila 1,75.
Iz definicije številskega izraza je tudi jasno, da lahko izraz vsebuje , , log , ln , lg , zapise itd. Tu so primeri številskih izrazov z njimi: tgπ , arcsin1+arccos1−π/2 in 
.
Delitev v številskih izrazih lahko označimo z . V tem primeru pride do številskih izrazov z ulomki. Tu so primeri takih izrazov: 1/(1+2) , 5+(2 3+1)/(7−2,2)+3 in 
.
Kot posebne matematične simbole in zapise, ki jih najdemo v številskih izrazih, predstavljamo . Na primer, pokažimo numerični izraz z modulom 
.
Kaj so dobesedni izrazi?
Koncept črkovnih izrazov je podan skoraj takoj po seznanitvi s številskimi izrazi. Vnese se približno takole. V določenem številskem izrazu eno od števil ni zapisano, temveč je namesto njega postavljen krog (ali kvadrat ali kaj podobnega) in rečeno, da lahko krog nadomesti določeno število. Na primer, poglejmo vnos. Če na primer namesto kvadrata postavimo številko 2, dobimo številski izraz 3+2. Torej namesto krogov, kvadratov itd. dogovorili za zapisovanje črk, in takšni izrazi s črkami so bili imenovani dobesedni izrazi. Vrnimo se k našemu primeru, če v tem zapisu namesto kvadrata postavimo črko a, dobimo dobesedni izraz oblike 3+a.
Torej, če v številskem izrazu dovolimo prisotnost črk, ki označujejo določene številke, potem dobimo tako imenovani dobesedni izraz. Naj podamo ustrezno definicijo.
Opredelitev.
Izraz, ki vsebuje črke, ki predstavljajo določena števila, se imenuje dobesedni izraz.
Iz te definicije je razvidno, da se dobesedni izraz bistveno razlikuje od številskega izraza po tem, da lahko vsebuje črke. V črkovnih izrazih se običajno uporabljajo male črke latinske abecede (a, b, c, ...), pri označevanju kotov pa male črke grške abecede (α, β, γ, ...).
Dobesedni izrazi so torej lahko sestavljeni iz številk, črk in vsebujejo vse matematične simbole, ki se lahko pojavijo v številskih izrazih, kot so oklepaji, korenski znaki, logaritmi, trigonometrične in druge funkcije itd. Posebej poudarjamo, da dobesedni izraz vsebuje vsaj eno črko. Lahko pa vsebuje tudi več enakih ali različnih črk.
Zdaj pa navedimo nekaj primerov dobesednih izrazov. Na primer, a+b je dobesedni izraz s črkama a in b. Tukaj je še en primer dobesednega izraza 5 x 3 −3 x 2 +x−2,5. In tukaj je primer kompleksnega dobesednega izraza: 
.
Izrazi s spremenljivkami
Če v dobesednem izrazu črka označuje količino, ki ne zavzame ene določene vrednosti, ampak lahko zavzame različne vrednosti, potem se ta črka imenuje spremenljivka in izraz se imenuje izraz s spremenljivko.
Opredelitev.
Izraz s spremenljivkami je dobesedni izraz, v katerem črke (vse ali nekatere) označujejo količine, ki imajo različne vrednosti.
Na primer, naj črka x v izrazu x 2 −1 sprejme poljubne naravne vrednosti iz intervala od 0 do 10, potem je x spremenljivka, izraz x 2 −1 pa je izraz s spremenljivko x.
Omeniti velja, da je lahko v izrazu več spremenljivk. Na primer, če menimo, da sta x in y spremenljivki, potem izraz 
je izraz z dvema spremenljivkama x in y.
Na splošno se prehod od koncepta dobesednega izraza k izrazu s spremenljivkami zgodi v 7. razredu, ko se začnejo učiti algebro. Do te točke so črkovni izrazi modelirali nekatere posebne naloge. V algebri začnejo gledati na izraz bolj splošno, brez sklicevanja na določen problem, z razumevanjem, da ta izraz ustreza velikemu številu problemov.
Za zaključek te točke bodimo pozorni na še eno točko: po videzu dobesednega izraza je nemogoče vedeti, ali so črke, vključene v njem, spremenljivke ali ne. Zato nam nič ne preprečuje, da te črke obravnavamo kot spremenljivke. V tem primeru razlika med izrazoma "dobesedni izraz" in "izraz s spremenljivkami" izgine.
Bibliografija.
- Matematika. 2 razreda Učbenik za splošno izobraževanje ustanove s prid. na elektron nosilec. Ob 14. uri 1. del / [M. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova itd.] - 3. izd. - M .: Izobraževanje, 2012. - 96 str .: ilustr. - (Ruska šola). - ISBN 978-5-09-028297-0.
- Matematika: učbenik za 5. razred. Splošna izobrazba ustanove / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. izd., izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 str .: ilustr. ISBN 5-346-00699-0.
- Algebra: učbenik za 7. razred Splošna izobrazba institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uredil S. A. Teljakovski. - 17. izd. - M .: Izobraževanje, 2008. - 240 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Algebra: učbenik za 8. razred. Splošna izobrazba institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uredil S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M .: Izobraževanje, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
