Za vektorje , in , določene z njihovimi koordinatami , , se mešani produkt izračuna po formuli: .
Uporablja se mešani izdelek: 1) izračunati prostornine tetraedra in paralelepipeda, zgrajenega na vektorjih , in , kot na robovih, z uporabo formule: ; 2) kot pogoj za komplanarnost vektorjev , in : in sta komplanarna.
Tema 5. Premice in ravnine.
Vektor normalne črte , se imenuje vsak neničelni vektor, pravokoten na dano premico. Usmerjevalni vektor je raven , se imenuje kateri koli neničelni vektor, vzporeden z dano premico.
Naravnost na površini
1) - splošna enačba premica, kjer je vektor normale premice;
2) - enačba premice, ki poteka skozi točko pravokotno na dani vektor;
3) kanonična enačba );
4)
5) - enačbe premice z naklonom , kjer je točka, skozi katero gre premica; () – kot, ki ga premica sklepa z osjo; - dolžina odseka (z znakom), ki ga premica odseka na osi (znak » «, če je odsek odrezan na pozitivnem delu osi, in » «, če je na negativnem delu).
6) - enačba premice po segmentih, kjer in so dolžine segmentov (z znakom), ki jih odseka premica na koordinatnih oseh in (znak “ ”, če je segment odrezan na pozitivnem delu osi in “ ” če je na negativnem).
Razdalja od točke do črte , podana s splošno enačbo na ravnini, se najde po formuli:
kotiček , ( )med ravnimi črtami in , podan s splošnimi enačbami ali enačbami s kotnim koeficientom, se ugotovi z uporabo ene od naslednjih formul:
Če ali.
Če oz
Koordinate presečišča črt in jih najdemo kot rešitev sistema linearnih enačb: ali .
Normalni vektor ravnine , se imenuje kateri koli neničelni vektor, pravokoten na dano ravnino.
Letalo v koordinatnem sistemu je mogoče določiti z enačbo ene od naslednjih vrst:
1) - splošna enačba ravnina, kjer je normalni vektor ravnine;
2) - enačba ravnine, ki poteka skozi točko pravokotno na dani vektor;
3) - enačba ravnine, ki poteka skozi tri točke , in ;
4) - enačba ravnine po segmentih, kjer so , in dolžine odsekov (z znakom), ki jih ravnina odseka na koordinatnih oseh , in (znak »«, če je odsek odrezan na pozitivnem delu osi, in »«, če je na negativnem) .
Razdalja od točke do ravnine , podana s splošno enačbo, se najde po formuli:
kotiček ,( )med letali in , podan s splošnimi enačbami, se najde po formuli:
Naravnost v vesolju v koordinatnem sistemu je mogoče določiti z enačbo ene od naslednjih vrst:
1) - splošna enačba ravna kot presečišče dveh ravnin, kjer in sta normalna vektorja ravnin in ;
2) - enačba premice, ki poteka skozi točko, vzporedno z danim vektorjem ( kanonična enačba );
3) - enačba premice, ki poteka skozi dve dani točki, ;
4) - enačba premice, ki poteka skozi točko vzporedno z danim vektorjem, ( parametrična enačba );
kotiček , ( ) med ravnimi črtami in v vesolju , podana s kanoničnimi enačbami, se najde po formuli:
Koordinate presečišča črte , podana s parametrično enačbo in letala , podane s splošno enačbo, najdemo kot rešitev sistema linearnih enačb: .
kotiček , ( ) med ravno črto , podana s kanonično enačbo in letalo , podana s splošno enačbo, se najde po formuli: .
Tema 6. Krivulje drugega reda.
Algebraična krivulja drugega reda v koordinatnem sistemu imenujemo krivulja, splošna enačba ki ima obliko:
kjer številke - niso hkrati enake nič. Obstaja naslednja klasifikacija krivulj drugega reda: 1) če , potem splošna enačba določa krivuljo eliptični tip (krog (pri), elipsa (pri), prazna množica, točka); 2) če , potem - krivulja hiperbolični tip (hiperbola, par sekajočih se črt); 3) če , potem - krivulja parabolični tip(parabola, prazna množica, premica, par vzporednih premic). Krog, elipsa, hiperbola in parabola se imenujejo nedegenerirane krivulje drugega reda.
Splošno enačbo , kjer je , ki določa nedegenerirano krivuljo (krog, elipsa, hiperbola, parabola), se lahko vedno (z uporabo metode izolacije popolnih kvadratov) zmanjša na enačbo ene od naslednjih vrst:
1a) - enačba kroga s središčem v točki in polmerom (slika 5).
1b)- enačba elipse s središčem v točki in simetrijskimi osemi, ki so vzporedne s koordinatnimi osemi. Številke in - se imenujejo polose elipse glavni pravokotnik elipse; oglišča elipse .
Če želite zgraditi elipso v koordinatnem sistemu: 1) označite sredino elipse; 2) narišite simetrično os elipse skozi sredino s pikčasto črto; 3) s pikčasto črto konstruiramo glavni pravokotnik elipse s središčem in stranicami, vzporednimi s simetričnimi osemi; 4) Elipso narišemo s polno črto in jo vpišemo v glavni pravokotnik tako, da se elipsa dotika svojih stranic le v ogliščih elipse (slika 6).
Na podoben način je zgrajen krog, katerega glavni pravokotnik ima stranice (slika 5).
Slika 5 Slika 6
2) - enačbe hiperbol (imenovane konjugat) s središčem v točki in simetrijskimi osmi, ki so vzporedne s koordinatnimi osemi. Številke in - se imenujejo polose hiperbol ; pravokotnik s stranicami, vzporednimi s simetričnimi osemi in središčem v točki - glavni pravokotnik hiperbol; točke presečišča glavnega pravokotnika s simetričnimi osmi - oglišča hiperbol; ravne črte, ki potekajo skozi nasprotna oglišča glavnega pravokotnika - asimptote hiperbol .
Če želite zgraditi hiperbolo v koordinatnem sistemu: 1) označite središče hiperbole; 2) narišite simetrično os hiperbole skozi središče s pikčasto črto; 3) s pikčasto črto zgradimo glavni pravokotnik hiperbole s središčem in stranicami, vzporednimi s simetričnimi osemi; 4) skozi nasprotna oglišča glavnega pravokotnika s pikčasto črto narišite ravne črte, ki so asimptote hiperbole, ki se ji veje hiperbole približujejo za nedoločen čas, na neskončni razdalji od izhodišča koordinat, ne da bi jih sekale; 5) S polno črto upodabljamo veje hiperbole (slika 7) ali hiperbole (slika 8).
Sl.7 Sl.8
3a)- enačba parabole z vrhom v točki in simetrijsko osjo, ki je vzporedna s koordinatno osjo (slika 9).
3b)- enačba parabole z vrhom v točki in simetrijsko osjo, ki je vzporedna s koordinatno osjo (slika 10).
Če želite zgraditi parabolo v koordinatnem sistemu: 1) označite vrh parabole; 2) s pikčasto črto nariši simetrijsko os parabole skozi oglišče; 3) Parabolo prikazujemo s polno črto, ki usmerja njeno vejo ob upoštevanju znaka parabole parabole: ko - v pozitivni smeri koordinatne osi, vzporedne z osjo simetrije parabole (sl. 9a in 10a); ko - v negativni smeri koordinatne osi (sl. 9b in 10b).
riž. 9a sl. 9b
riž. 10a sl. 10b
Tema 7. Množice. Številčni nizi. funkcija.
Spodaj veliko razumeti določen niz predmetov katere koli narave, ki se med seboj razlikujejo in si jih je mogoče zamisliti kot eno celoto. Predmeti, ki sestavljajo množico, se imenujejo elementi . Množica je lahko neskončna (sestoji iz neskončnega števila elementov), končna (sestoji iz končnega števila elementov), prazna (ne vsebuje niti enega elementa). Množice so označene z: , njihove elemente pa z . Prazen niz je označen z .
Komplet se imenuje podnabor niz, če vsi elementi množice pripadajo množici in zapiši . Kompleti se imenujejo enaka , če so sestavljeni iz istih elementov in pišejo . Dva sklopa in bo enako, če in samo če in .
Komplet se imenuje univerzalni (v okviru te matematične teorije) , če so njeni elementi vsi predmeti, obravnavani v tej teoriji.
Komplet je mogoče določiti: 1) navajanje vseh njegovih elementov, na primer: (samo za končne množice); 2) s podajanjem pravila za ugotavljanje, ali element univerzalne množice pripada dani množici: .
Združenje
S prečkanjem množice in se imenuje množica
Z razliko množice in se imenuje množica
Dodatek množice (pred univerzalno množico) imenujemo množica.
Dva sklopa se imenujeta enakovreden in napiši ~, če je med elementi teh množic mogoče vzpostaviti korespondenco ena proti ena. Komplet se imenuje števen , če je enakovredna množici naravnih števil: ~. Prazna množica je po definiciji števna.
Koncept kardinalnosti množice se pojavi pri primerjavi množic glede na število elementov, ki jih vsebujejo. Kardinalnost množice je označena z . Kardinalnost končne množice je število njenih elementov.
Enakovredni nizi imajo enako kardinalnost. Komplet se imenuje nešteto , če je njegova moč večja od moči niza.
Veljavno (resnično) število Imenuje se neskončni decimalni ulomek, vzet z znakom "+" ali " ". Realna števila identificiramo s točkami na številski premici. Modul (absolutna vrednost) realnega števila je nenegativno število:
Komplet se imenuje številčno , če so njegovi elementi realna števila v intervalih množice števil imenujemo: , , , , , , , , .
Množico vseh točk na številski premici, ki izpolnjujejo pogoj , kjer je poljubno majhno število, imenujemo -okolici (ali preprosto okolica) točke in je označena z . Množica vseh točk s pogojem , kjer je poljubno veliko število, se imenuje - okolici (ali preprosto soseska) neskončnosti in je označena z .
Količino, ki ohrani enako številsko vrednost, imenujemo konstantna. Količina, ki ima različne številske vrednosti, se imenuje spremenljivka. funkcija se imenuje pravilo, po katerem je vsako število povezano z eno zelo določeno številko in pišejo. Komplet se imenuje domena definicije funkcije, - veliko ( ali regija ) vrednote funkcije, - prepir , - vrednost funkcije . Najpogostejši način podajanja funkcije je analitična metoda, pri kateri je funkcija podana s formulo. Naravna domena definicije funkcija je nabor vrednosti argumenta, za katerega je ta formula smiselna. Funkcijski graf , V pravokotni sistem koordinate je množica vseh točk v ravnini s koordinatami , .
Funkcija se imenuje celo na množici simetrični glede na točko, če je za vse izpolnjen naslednji pogoj: in Čuden , če je pogoj izpolnjen. Sicer pa funkcija splošne oblike oz niti sodo niti liho .
Funkcija se imenuje periodično na setu, če je številka ( obdobje funkcije ), tako da je za vse izpolnjen naslednji pogoj: . Najmanjše število se imenuje glavno obdobje.
Funkcija se imenuje monotono narašča (zmanjševanje ) na množici, če večja vrednost argumenta ustreza večji (manjši) vrednosti funkcije.
Funkcija se imenuje omejeno na množici, če obstaja takšno število, da je za vse izpolnjen naslednji pogoj: . Sicer je funkcija neomejeno .
Vzvratno delovati , , je funkcija, ki je definirana na množici in za vsakega
Takšne tekme, da . Če želite najti inverzno funkcijo , treba rešiti enačbo relativno. Če funkcija , je strogo monotona na , potem ima vedno inverz in če funkcija narašča (pada), potem tudi inverzna funkcija narašča (pada).
Imenuje se funkcija, predstavljena v obliki, kjer so nekatere funkcije, tako da domena definicije funkcije vsebuje celoten niz vrednosti funkcije. kompleksna funkcija neodvisen argument. Spremenljivka se imenuje vmesni argument. Kompleksno funkcijo imenujemo tudi kompozicija funkcij in , zapišemo pa jo: .
Osnovna osnovna upoštevajo se funkcije: moč funkcija, okvirno funkcija ( , ), logaritemski funkcija ( , ), trigonometrična funkcije , , , , inverzna trigonometrija funkcije , , , . Osnovno je funkcija, ki jo dobimo iz osnovnih elementarnih funkcij s končnim številom njihovih aritmetičnih operacij in sestavov.
Če je podan graf funkcije, se izdelava grafa funkcije zmanjša na niz transformacij (premik, stiskanje ali raztezanje, prikaz) grafa:
1) 2) transformacija prikaže graf simetrično glede na os; 3) transformacija premakne graf vzdolž osi za enote ( - v desno, - v levo); 4) transformacija premakne graf vzdolž osi za enote ( - gor, - dol); 5) preoblikovanje grafa vzdolž osi raztegne za faktor, če ali stisne za faktor, če; 6) Preoblikovanje grafa vzdolž osi stisne za faktor če ali raztegne za faktor če .
Zaporedje transformacij pri gradnji grafa funkcije lahko simbolično predstavimo kot:
Opomba. Pri izvajanju transformacije ne pozabite, da je količina premika vzdolž osi določena s konstanto, ki je dodana neposredno argumentu, in ne argumentu.
Graf funkcije je parabola z vrhom v točki , katere veje so usmerjene navzgor, če , ali navzdol, če . Graf linearne ulomljene funkcije je hiperbola s središčem v točki , katere asimptote potekajo skozi središče, vzporedno s koordinatnimi osemi. , ki izpolnjuje pogoj. klical.
Razmislite o produktu vektorjev, 
in 
, sestavljeno na naslednji način: 
. Tukaj sta prva dva vektorja pomnožena vektorsko, njun rezultat pa skalarno pomnožen s tretjim vektorjem. Tak izdelek se imenuje vektorsko-skalarni ali mešani produkt treh vektorjev. Mešani produkt predstavlja število.
Ugotovimo geometrijski pomen izraza 
.
Izrek . Mešani zmnožek treh vektorjev je enak prostornini paralelopipeda, zgrajenega na teh vektorjih, vzetega z znakom plus, če ti vektorji tvorijo desno trojko, in z znakom minus, če tvorijo levo trojko.
Dokaz.. Konstruirajmo paralelepiped, katerega robovi so vektorji 
,
,
in vektor 
.
Imamo: 
,
, Kje 
- območje paralelograma, zgrajenega na vektorjih 
in 
,
za desno trojko vektorjev in 
za levo, kjer 
- višina paralelopipeda. Dobimo: 
, tj. 
, Kje 
- prostornina paralelepipeda, ki ga tvorijo vektorji 
,
in 
.
Lastnosti mešanega izdelka
1. Mešani izdelek se ne spremeni, ko ciklično preureditev njegovih dejavnikov, tj. .
Dejansko se v tem primeru ne spremeni niti prostornina paralelepipeda niti orientacija njegovih robov.
2. Mešani produkt se ne spremeni, če se znaka vektorskega in skalarnega množenja zamenjata, tj. 
.
res, 
in 
. Enak predznak vzamemo na desni strani teh enačb, saj so trojčki vektorjev 
,
,
in 
,
,
- ena orientacija.
torej 
. To vam omogoča pisanje mešanega produkta vektorjev 
kot 
brez znakov vektorskega, skalarnega množenja.
3. Mešani produkt spremeni predznak, ko katera koli dva faktorska vektorja zamenjata mesti, tj. 
,
,
.
Dejansko je taka preureditev enakovredna preureditvi faktorjev v vektorskem produktu, pri čemer se spremeni predznak produkta.
4. Mešani produkt neničelnih vektorjev 
,
in 
enaka nič, če in samo če sta komplanarna.
2.12. Izračun mešanega produkta v koordinatni obliki v ortonormirani bazi
Naj bodo vektorji podani 
,
,
. Poiščimo njihov mešani produkt z uporabo izrazov v koordinatah za vektorske in skalarne produkte:
. (10)
Nastalo formulo lahko zapišemo bolj na kratko:
,
saj desna stran enačbe (10) predstavlja razširitev determinante tretjega reda na elemente tretje vrstice.
Torej je mešani produkt vektorjev enak determinanti tretjega reda, sestavljeni iz koordinat pomnoženih vektorjev.
2.13.Nekatere uporabe mešanega izdelka
Določanje relativne orientacije vektorjev v prostoru
Določanje relativne orientacije vektorjev 
,
in 
na podlagi naslednjih premislekov. če 
, To 
,
,
- desni trije; če 
, To 
,
,
- levo tri.
Pogoj za koplanarnost vektorjev
Vektorji 
,
in 
so komplanarne, če in samo če je njihov mešani produkt enak nič ( 
,
,
):
vektorji 
,
,
komplanaren.
Določanje prostornin paralelepipeda in trikotne piramide
Preprosto je pokazati, da je prostornina paralelepipeda zgrajena iz vektorjev 
,
in 
izračunano kot 
, prostornina trikotne piramide, zgrajene na enakih vektorjih, pa je enaka 
.
Primer 1. Dokaži, da vektorji 
,
,
komplanaren.
rešitev. Poiščimo mešani produkt teh vektorjev z uporabo formule:
.
To pomeni, da vektorji 
komplanaren.
Primer 2. Glede na oglišča tetraedra: 
(0, -2, 5),
(6, 6, 0),
(3, -3, 6),
(2, -1, 3). Poiščite dolžino njegove višine, spuščeno z vrha 
.
rešitev. Najprej poiščimo prostornino tetraedra 
. Z uporabo formule dobimo:
Ker je determinant enak negativnemu številu, morate v tem primeru pred formulo postaviti znak minus. torej 
.
Zahtevana količina h določimo iz formule 
, Kje S
– osnovna površina. Določimo območje S:
Kje 
Zaradi 
Zamenjava v formulo 
vrednote 
in 
, dobimo h=
3.
Primer 3. Ali nastanejo vektorji 
osnova v vesolju? Razširi vektor 
na podlagi vektorjev.
rešitev.Če vektorji tvorijo bazo v prostoru, potem ne ležijo v isti ravnini, tj. niso koplanarni. Poiščimo mešani produkt vektorjev 
:
,
Posledično vektorji niso koplanarni in tvorijo osnovo v prostoru. Če vektorji tvorijo osnovo v prostoru, potem kateri koli vektor 
lahko predstavimo kot linearno kombinacijo baznih vektorjev, in sicer 
,Kje 
vektorske koordinate 
v vektorski osnovi 
. Poiščimo te koordinate tako, da sestavimo in rešimo sistem enačb
.
Reševanje po Gaussovi metodi imamo
Od tod 
. Potem 
.
torej 
.
Primer 4. Vrhovi piramide se nahajajo na točkah: 
,
,
,
. Izračunajte:
a) območje obraza 
;
b) prostornina piramide 
;
c) vektorska projekcija 
v smeri vektorja 
;
d) kot 
;
e) preverite, ali so vektorji 
,
,
komplanaren.
rešitev
a) Iz definicije vektorskega produkta je znano, da:
.
Iskanje vektorjev 
in 
, z uporabo formule
,
.
Za vektorje, določene s svojimi projekcijami, se vektorski produkt najde s formulo
, Kje 
.
Za naš primer
.
Dolžino dobljenega vektorja poiščemo s formulo
,
.
in potem 
(kvadratne enote).
b) Mešani produkt treh vektorjev je po absolutni vrednosti enak prostornini paralelopipeda, zgrajenega iz vektorjev 
,
,
kot na rebrih.
Mešani produkt se izračuna po formuli:
.
Poiščimo vektorje 
,
,
, ki sovpada z robovi piramide, ki se zbližata na vrhu 
:
,
,
.
Mešani produkt teh vektorjev
.
Ker je prostornina piramide enaka delu prostornine paralelopipeda, zgrajenega na vektorjih 
,
,
, To 
(kubične enote).
c) Uporaba formule 
, ki definira skalarni produkt vektorjev 
,
, lahko zapišemo takole:
,
Kje 
oz 
;
oz 
.
Najti projekcijo vektorja 
v smeri vektorja 
poiščite koordinate vektorjev 
,
in nato uporabi formulo
,
dobimo
d) Da bi našli kot 
definirati vektorje 
,
, ki ima v točki skupni izvor 
:
,
.
Nato z uporabo formule skalarnega produkta
,
e) Po vrstnem redu za tri vektorje
,
,
koplanarni, je nujno in zadostno, da je njihov mešani produkt enak nič.
V našem primeru imamo 
.
Zato so vektorji komplanarni.
Za vektorja , in , podana s koordinatami , , se mešani produkt izračuna po formuli: .
Uporablja se mešani izdelek: 1) izračunati prostornine tetraedra in paralelepipeda, zgrajenega na vektorjih , in , kot na robovih, z uporabo formule: ; 2) kot pogoj za komplanarnost vektorjev , in : in sta komplanarna.
Tema 5. Črte na ravnini.
Vektor normalne črte , se imenuje vsak neničelni vektor, pravokoten na dano premico. Usmerjevalni vektor je raven , se imenuje kateri koli neničelni vektor, vzporeden z dano premico.
Naravnost na površini v koordinatnem sistemu je mogoče določiti z enačbo ene od naslednjih vrst:
1) - splošna enačba premica, kjer je vektor normale premice;
2) - enačba premice, ki poteka skozi točko pravokotno na dani vektor;
3) - enačba premice, ki poteka skozi točko, vzporedno z danim vektorjem ( kanonična enačba );
4) - enačba premice, ki poteka skozi dve dani točki, ;
5) - enačbe premice z naklonom , kjer je točka, skozi katero gre premica; () – kot, ki ga premica sklepa z osjo; - dolžina odseka (z znakom), ki ga premica odseka na osi (znak » «, če je odsek odrezan na pozitivnem delu osi, in » «, če je na negativnem delu).
6) - enačba premice po segmentih, kjer in so dolžine segmentov (z znakom), ki jih odseka premica na koordinatnih oseh in (znak “ ”, če je segment odrezan na pozitivnem delu osi in “ ” če je na negativnem).
Razdalja od točke do črte , podana s splošno enačbo na ravnini, se najde po formuli:
kotiček , ( )med ravnimi črtami in , podan s splošnimi enačbami ali enačbami s kotnim koeficientom, se ugotovi z uporabo ene od naslednjih formul:
Če ali.
Če oz
Koordinate presečišča črt in jih najdemo kot rešitev sistema linearnih enačb: ali .
Tema 10. Množice. Številčni nizi. Funkcije.
Spodaj veliko razumeti določen niz predmetov katere koli narave, ki se med seboj razlikujejo in si jih je mogoče zamisliti kot eno celoto. Predmeti, ki sestavljajo množico, se imenujejo elementi . Množica je lahko neskončna (sestoji iz neskončnega števila elementov), končna (sestoji iz končnega števila elementov), prazna (ne vsebuje niti enega elementa). Množice so označene z: , njihove elemente pa z . Prazen niz je označen z .
Komplet se imenuje podnabor niz, če vsi elementi množice pripadajo množici in zapiši .
Kompleti se imenujejo enaka , če so sestavljeni iz istih elementov in pišejo . Dva sklopa in bo enako, če in samo če in .
Komplet se imenuje univerzalni (v okviru te matematične teorije) , če so njeni elementi vsi predmeti, obravnavani v tej teoriji.
Komplet je mogoče določiti: 1) navajanje vseh njegovih elementov, na primer: (samo za končne množice); 2) s podajanjem pravila za ugotavljanje, ali element univerzalne množice pripada dani množici: .
Združenje
S prečkanjem množice in se imenuje množica
Z razliko množice in se imenuje množica
Dodatek množice (pred univerzalno množico) imenujemo množica.
Dva sklopa se imenujeta enakovreden in napiši ~, če je med elementi teh množic mogoče vzpostaviti korespondenco ena proti ena. Komplet se imenuje števen , če je enakovredna množici naravnih števil: ~. Prazna množica je po definiciji števna.
Veljavno (resnično) število Imenuje se neskončni decimalni ulomek, vzet z znakom "+" ali " ". Realna števila identificiramo s točkami na številski premici.
Modul (absolutna vrednost) realnega števila je nenegativno število:
Komplet se imenuje številčno , če so njegovi elementi realna števila. Številčno v intervalih se imenujejo sklopi
številke: , , , , , , , , .
Množico vseh točk na številski premici, ki izpolnjujejo pogoj , kjer je poljubno majhno število, imenujemo -okolici (ali preprosto okolica) točke in je označena z . Množica vseh točk s pogojem , kjer je poljubno veliko število, se imenuje - okolici (ali preprosto soseska) neskončnosti in je označena z .
Količino, ki ohrani enako številsko vrednost, imenujemo konstantna. Količina, ki ima različne številske vrednosti, se imenuje spremenljivka. funkcija se imenuje pravilo, po katerem je vsako število povezano z eno zelo določeno številko in pišejo. Komplet se imenuje domena definicije funkcije, - veliko ( ali regija ) vrednote funkcije, - prepir , - vrednost funkcije . Najpogostejši način podajanja funkcije je analitična metoda, pri kateri je funkcija podana s formulo. Naravna domena definicije funkcija je nabor vrednosti argumenta, za katerega je ta formula smiselna. Funkcijski graf , v pravokotnem koordinatnem sistemu je množica vseh točk ravnine s koordinatami , .
Funkcija se imenuje celo na množici simetrični glede na točko, če je za vse izpolnjen naslednji pogoj: in Čuden , če je pogoj izpolnjen. Sicer pa funkcija splošne oblike oz niti sodo niti liho .
Funkcija se imenuje periodično na setu, če je številka ( obdobje funkcije ), tako da je za vse izpolnjen naslednji pogoj: . Najmanjše število se imenuje glavno obdobje.
Funkcija se imenuje monotono narašča (zmanjševanje ) na množici, če večja vrednost argumenta ustreza večji (manjši) vrednosti funkcije.
Funkcija se imenuje omejeno na množici, če obstaja takšno število, da je za vse izpolnjen naslednji pogoj: . Sicer je funkcija neomejeno .
Vzvratno delovati , , je funkcija, ki je definirana na nizu in vsakemu pripisuje tako, da . Če želite najti inverzno funkcijo , treba rešiti enačbo relativno. Če funkcija , je strogo monotona na , potem ima vedno inverz in če funkcija narašča (pada), potem tudi inverzna funkcija narašča (pada).
Imenuje se funkcija, predstavljena v obliki, kjer so nekatere funkcije, tako da domena definicije funkcije vsebuje celoten niz vrednosti funkcije. kompleksna funkcija neodvisen argument. Spremenljivka se imenuje vmesni argument. Kompleksno funkcijo imenujemo tudi kompozicija funkcij in , zapišemo pa jo: .
Osnovna osnovna upoštevajo se funkcije: moč funkcija, okvirno funkcija ( , ), logaritemski funkcija ( , ), trigonometrična funkcije , , , , inverzna trigonometrija funkcije , , , . Osnovno je funkcija, ki jo dobimo iz osnovnih elementarnih funkcij s končnim številom njihovih aritmetičnih operacij in sestavov.
Graf funkcije je parabola z vrhom v točki , katere veje so usmerjene navzgor, če , ali navzdol, če .
V nekaterih primerih je pri izdelavi grafa funkcije priporočljivo razdeliti njeno definicijsko področje na več intervalov, ki se ne prekrivajo, in zaporedoma zgraditi graf na vsakem od njih.
Vsaka urejena množica realnih števil se imenuje točkastodimenzionalna aritmetika (koordinata) prostora in ga označujemo z ali , številke pa imenujemo ee koordinate .
Pustiti in se nekaj sklopov točk in . Če je vsaki točki po nekem pravilu pripisano eno točno določeno realno število , potem pravijo, da je na množici podana numerična funkcija spremenljivk in pišejo ali na kratko in , kar imenujemo domena definicije , - niz pomenov , - argumenti (neodvisne spremenljivke) funkcije.
Funkcijo dveh spremenljivk pogosto označujemo z , funkcijo treh spremenljivk pa z . Definicijsko področje funkcije je določena množica točk v ravnini, domena funkcije pa določena množica točk v prostoru.
Tema 7. Številčna zaporedja in serije. Meja doslednosti. Omejitev delovanja in kontinuitete.
Če je vsako naravno število po nekem pravilu povezano z enim točno določenim realnim številom, potem pravijo, da je dano številčno zaporedje . Na kratko označuje. Številka je poklicana skupni član zaporedja . Zaporedje se imenuje tudi funkcija naravnega argumenta. Zaporedje vedno vsebuje neskončno veliko elementov, od katerih so nekateri lahko enaki.
Številka je poklicana omejitev zaporedja , In napišite, če za katero koli številko obstaja število, tako da za vse neenakost .
Zaporedje, ki ima končno mejo, se imenuje konvergenten , drugače - divergenten .
: 1) zmanjševanje , Če ; 2) povečevanje , Če ; 3) nepadajoča , Če ; 4) nenaraščajoča , Če . Vsa zgornja zaporedja so poklicana monotono .
Zaporedje se imenuje omejeno , če obstaja takšno število, da je za vse izpolnjen naslednji pogoj: . Sicer je zaporedje neomejeno .
Vsako monotono omejeno zaporedje ima limit ( Weierstrassov izrek).
Zaporedje se imenuje infinitezimalno , Če . Zaporedje se imenuje neskončno velik (konvergira v neskončnost), če .
številka se imenuje meja zaporedja, kjer
Konstanta se imenuje Neperjevo število. Logaritemu števila na njegovo osnovo pravimo naravni logaritem števila in ga označujemo z .
Izraz oblike , kjer je zaporedje števil, se imenuje številske serije in bo imenovan. Vsota prvih členov niza se imenuje -th delni znesek vrstica.
Serija se imenuje konvergenten , če obstaja končna meja in divergenten , če omejitev ne obstaja. Številka je poklicana vsoto konvergentne vrste , hkrati pišejo.
Če niz konvergira, potem (nujen znak konvergence vrste ) . Obratna trditev ne drži.
Če , potem se niz razhaja ( zadosten pokazatelj razhajanja serije ).
Posplošen harmonski niz je serija, ki konvergira pri in razhaja pri .
Geometrijske serije je niz, ki konvergira pri , medtem ko je njegova vsota enaka in divergira pri . najti številko ali simbol. (leva polovica soseske, desna polovica soseske) in
V tej lekciji si bomo ogledali še dve operaciji z vektorji: vektorski produkt vektorjev in mešani produkt vektorjev (takojšnja povezava za tiste, ki jo potrebujejo). Ni kaj, včasih se zgodi, da za popolno srečo, poleg skalarni produkt vektorjev, potrebnih je vedno več. To je vektorska odvisnost. Morda se zdi, da smo zašli v džunglo analitične geometrije. To je narobe. V tem delu višje matematike je na splošno malo lesa, razen morda dovolj za Ostržka. Pravzaprav je material zelo običajen in preprost - komajda bolj zapleten kot enak skalarni produkt, tipičnih nalog bo še manj. Glavna stvar v analitični geometriji, kot bodo mnogi prepričani ali so se že prepričali, je, da se NE ZMOTI PRI IZRAČUNAH. Ponavljajte kot urok in srečni boste =)
Če se vektorji iskrijo nekje daleč, kot strela na obzorju, ni pomembno, začnite z lekcijo Vektorji za lutke obnoviti ali ponovno pridobiti osnovno znanje o vektorjih. Bolj pripravljeni bralci se lahko selektivno seznanijo z informacijami; poskušal sem zbrati čim popolnejšo zbirko primerov, ki jih pogosto najdemo v praktično delo
Kaj vas bo takoj osrečilo? Ko sem bil majhen, sem znal žonglirati z dvema ali celo tremi žogami. Dobro se je izšlo. Zdaj vam sploh ne bo treba žonglirati, saj bomo razmislili le prostorski vektorji, ploski vektorji z dvema koordinatama pa bodo izpuščeni. Zakaj? Tako so se rodile te akcije - vektor in mešani produkt vektorjev sta definirana in delujeta v tridimenzionalnem prostoru. Je že lažje!
Ta operacija, tako kot skalarni produkt, vključuje dva vektorja. Naj bodo to neminljive črke.
Sama akcija označen z na naslednji način: . Obstajajo še druge možnosti, vendar sem navajen vektorski produkt vektorjev označevati na ta način, v oglatih oklepajih s križcem.
In to takoj vprašanje: če v skalarni produkt vektorjev sta vključena dva vektorja in tukaj sta dva vektorja tudi pomnožena kakšna je razlika? Očitna razlika je najprej v REZULTATU:
Rezultat skalarnega produkta vektorjev je ŠTEVILO:
Rezultat navzkrižnega produkta vektorjev je VEKTOR: , to pomeni, da vektorje pomnožimo in spet dobimo vektor. Zaprt klub. Pravzaprav od tod izvira ime operacije. V različnih poučna literatura oznake so lahko tudi različne, uporabil bom črko .
Opredelitev navzkrižnega produkta
Najprej bo definicija s sliko, nato komentarji.
Opredelitev: Vektorski izdelek nekolinearni vektorji, posneti v tem vrstnem redu, imenovan VEKTOR, dolžina kar je številčno enaka površini paralelograma, zgrajen na teh vektorjih; vektor pravokoten na vektorje, in je usmerjena tako, da je osnova pravilno usmerjena: 
Razčlenimo definicijo po delih, tukaj je veliko zanimivih stvari!
Torej je mogoče poudariti naslednje pomembne točke:
1) Izvirni vektorji, označeni z rdečimi puščicami, po definiciji ni kolinearna. Primer kolinearnih vektorjev bo primerno obravnavati nekoliko kasneje.
2) Vektorji so vzeti v strogo določenem vrstnem redu: – "a" se pomnoži z "be", ne "biti" z "a". Rezultat vektorskega množenja je VEKTOR, ki je označen z modro. Če vektorje pomnožimo v obratnem vrstnem redu, dobimo vektor enake dolžine in nasprotne smeri (barva maline). To pomeni, da je enakost resnična 
.
3) Zdaj pa se seznanimo z geometrijskim pomenom vektorskega produkta. To je zelo pomembna točka! DOLŽINA modrega vektorja (in s tem škrlatnega vektorja) je številčno enaka PLOŠČINI paralelograma, zgrajenega na vektorjih. Na sliki je ta paralelogram črno osenčen.
Opomba : risba je shematična in seveda nazivna dolžina vektorskega produkta ni enaka površini paralelograma.
Spomnimo se ene od geometrijskih formul: Ploščina paralelograma je enaka zmnožku sosednjih stranic in sinusa kota med njima. Zato je na podlagi zgoraj navedenega veljavna formula za izračun DOLŽINE vektorskega produkta:
Poudarjam, da formula govori o DOLŽINI vektorja in ne o samem vektorju. Kakšen je praktični pomen? In pomen je, da se v problemih analitične geometrije območje paralelograma pogosto najde s konceptom vektorskega izdelka:
Pridobimo drugo pomembno formulo. Diagonala paralelograma (rdeča pikčasta črta) ga deli na dva enaka trikotnika. Zato je območje trikotnika, zgrajenega na vektorjih (rdeče senčenje), mogoče najti s formulo:
4) Enako pomembno dejstvo je, da je vektor pravokoten na vektorja, tj 
. Seveda je tudi nasprotno usmerjen vektor (malinasta puščica) pravokoten na prvotne vektorje.
5) Vektor je usmerjen tako, da osnova Ima prav orientacija. V lekciji o prehod na novo osnovo Govoril sem dovolj podrobno o ravninska orientacija, zdaj pa bomo ugotovili, kaj je vesoljska orientacija. Razložil vam bom na prste desna roka. Mentalno kombinirajte kazalec z vektorjem in sredinec z vektorjem. Prstanec in mezinec pritisnite na dlan. Kot rezultat palec– vektorski produkt bo pogledal navzgor. To je desno usmerjena osnova (to je ta na sliki). Zdaj spremenite vektorje ( kazalec in sredinec) na nekaterih mestih, posledično se bo palec obrnil in vektorski produkt bo že gledal navzdol. To je tudi desno usmerjena osnova. Morda imate vprašanje: katera osnova ima levo orientacijo? "Dodeli" istim prstom leva roka vektorje ter pridobimo levo osnovo in levo orientacijo prostora (v tem primeru bo palec nameščen v smeri spodnjega vektorja). Figurativno povedano, te baze "sukajo" ali usmerjajo prostor v različne smeri. In tega koncepta ne bi smeli obravnavati kot nekaj namišljenega ali abstraktnega - na primer, orientacijo prostora spremeni najbolj običajno ogledalo, in če "izvlečete odsevni predmet iz ogledala", potem v splošnem primeru ne bo mogoče kombinirati z "originalom". Mimogrede, drži tri prste do ogledala in analiziraj odsev ;-)
... kako dobro je, da zdaj veš desno in levo usmerjeno baze, ker so izjave nekaterih predavateljev o spremembi usmeritve strašljive =)
Navzkrižni produkt kolinearnih vektorjev
Definicija je bila podrobno obravnavana, treba je ugotoviti, kaj se zgodi, ko so vektorji kolinearni. Če so vektorji kolinearni, jih lahko postavimo na eno ravno črto in tudi naš paralelogram se "zloži" v eno ravno črto. Območje takega, kot pravijo matematiki, degeneriran paralelogram je enak nič. Enako izhaja iz formule - sinus nič ali 180 stopinj je enak nič, kar pomeni, da je površina enaka nič
Torej, če , potem 
in 
. Upoštevajte, da je sam vektorski produkt enak ničelnemu vektorju, vendar se v praksi to pogosto zanemarja in piše, da je tudi enak nič.
Poseben primer je navzkrižni produkt vektorja s samim seboj:
Z vektorskim produktom lahko preverite kolinearnost tridimenzionalnih vektorjev, med drugim bomo analizirali tudi ta problem.
Za rešitev praktičnih primerov boste morda potrebovali trigonometrična tabela da bi iz njega našli vrednosti sinusov.
No, prižgimo ogenj:
Primer 1
a) Poiščite dolžino vektorskega produkta vektorjev, če 
b) Poiščite ploščino paralelograma, zgrajenega na vektorjih, če 
rešitev: Ne, to ni tipkarska napaka, namerno sem naredil enake začetne podatke v stavkih. Ker bo zasnova rešitev drugačna!
a) Glede na pogoj, morate najti dolžina vektor (navzkrižni produkt). Po ustrezni formuli:
Odgovori:
Če ste bili vprašani o dolžini, potem v odgovoru navedemo dimenzijo - enote.
b) Glede na pogoj morate najti kvadrat paralelogram, zgrajen na vektorjih. Površina tega paralelograma je številčno enaka dolžini vektorskega produkta:
Odgovori:
Upoštevajte, da odgovor sploh ne govori o vektorskem produktu, o katerem so nas vprašali območje figure, zato so dimenzije kvadratne enote.
Vedno pogledamo, KAJ moramo najti glede na stanje, in na podlagi tega oblikujemo jasno odgovor. Morda se zdi dobesednost, vendar je med učitelji veliko dobesednikov in naloga ima dobre možnosti, da jo vrnejo v popravek. Čeprav ne gre za posebno namišljeno prepirko – če je odgovor napačen, se zdi, da oseba ne razume. preproste stvari in/ali ni razumel bistva naloge. To točko je treba vedno imeti pod nadzorom pri reševanju katerega koli problema v višji matematiki in tudi pri drugih predmetih.
Kam je izginila velika črka "en"? Načeloma bi ga lahko še dodatno priložili rešitvi, vendar zaradi skrajšanja vnosa tega nisem naredil. Upam, da vsi to razumejo in je oznaka za isto stvar.
Priljubljen primer za neodvisna odločitev:
Primer 2
Poiščite območje trikotnika, zgrajenega na vektorjih, če 
Formula za iskanje površine trikotnika skozi vektorski produkt je podana v komentarjih k definiciji. Rešitev in odgovor sta na koncu lekcije.
V praksi je naloga res zelo pogosta, trikotniki vas lahko nasploh mučijo.
Za reševanje drugih težav bomo potrebovali:
Lastnosti vektorskega produkta vektorjev
Nekatere lastnosti vektorskega produkta smo že obravnavali, vendar jih bom vključil v ta seznam.
Za poljubne vektorje in poljubno število veljajo naslednje lastnosti:
1) V drugih virih informacij ta element običajno ni poudarjen v lastnostih, vendar je v praksi zelo pomemben. Pa naj bo.
2) 
– lastnost je tudi obravnavana zgoraj, včasih se imenuje antikomutativnost. Z drugimi besedami, vrstni red vektorjev je pomemben.
3) – asociativne oz asociativno zakoni o vektorskem produktu. Konstante je mogoče preprosto premakniti izven vektorskega produkta. Saj res, kaj naj počnejo tam?
4) – distribucija oz razdelilni zakoni o vektorskem produktu. Tudi z odpiranjem oklepajev ni težav.
Za dokaz si oglejmo kratek primer:
Primer 3
Poiščite, če 
rešitev: Pogoj spet zahteva iskanje dolžine vektorskega produkta. Pobarvajmo našo miniaturo: 
(1) V skladu z asociativnimi zakoni jemljemo konstante izven obsega vektorskega produkta.
(2) Konstanto premaknemo izven modula in modul "poje" znak minus. Dolžina ne more biti negativna.
(3) Ostalo je jasno.
Odgovori: 
Čas je, da dodamo še drva na ogenj:
Primer 4
Izračunajte površino trikotnika, zgrajenega na vektorjih, če 
rešitev: Poiščite površino trikotnika s formulo 
. Ulov je v tem, da sta vektorja "tse" in "de" sama predstavljena kot vsota vektorjev. Algoritem tukaj je standarden in nekoliko spominja na primera št. 3 in 4 lekcije Točkovni produkt vektorjev. Zaradi jasnosti bomo rešitev razdelili na tri stopnje:
1) V prvem koraku izrazimo vektorski produkt skozi vektorski produkt, pravzaprav izrazimo vektor z vektorjem. O dolžinah še ni govora!
(1) Zamenjajte izraze vektorjev.
(2) S pomočjo distribucijskih zakonov odpremo oklepaje po pravilu množenja polinomov.
(3) Z uporabo asociativnih zakonov premaknemo vse konstante onkraj vektorskih produktov. Z malo izkušenj lahko 2. in 3. korak izvedete hkrati.
(4) Prvi in zadnji člen sta zaradi lepe lastnosti enaka nič (ničelni vektor). V drugem členu uporabimo lastnost antikomutativnosti vektorskega produkta:
(5) Predstavljamo podobne pogoje.
Kot rezultat se je izkazalo, da je vektor izražen z vektorjem, kar je bilo potrebno doseči: 
2) V drugem koraku poiščemo dolžino vektorskega produkta, ki ga potrebujemo. To dejanje je podobno 3. primeru: 
3) Poiščite območje zahtevanega trikotnika: 
Faze 2-3 rešitve bi lahko zapisali v eno vrstico.
Odgovori:
Obravnavana težava je precej pogosta v testih, tukaj je primer, kako jo rešiti sami:
Primer 5
Poiščite, če
Kratka rešitev in odgovor na koncu lekcije. Poglejmo, kako pozorni ste bili pri preučevanju prejšnjih primerov ;-)
Navzkrižni produkt vektorjev v koordinatah
, določeno v ortonormirani osnovi, izraženo s formulo:
Formula je res enostavna: v zgornjo vrstico determinante zapišemo koordinatne vektorje, v drugo in tretjo vrstico »vstavimo« koordinate vektorjev in vnesemo v strogem redu– najprej koordinate vektorja »ve«, nato koordinate vektorja »double-ve«. Če je treba vektorje pomnožiti v drugačnem vrstnem redu, je treba vrstice zamenjati: 
Primer 10
Preverite, ali so naslednji prostorski vektorji kolinearni:
A)
b) 
rešitev: Preverjanje temelji na eni od izjav v tej lekciji: če sta vektorja kolinearna, potem je njihov vektorski produkt enak nič (ničelni vektor): 
.
a) Poiščite vektorski produkt: 
Vektorji torej niso kolinearni.
b) Poiščite vektorski produkt: 
Odgovori: a) ni kolinearna, b)
Tukaj so morda vse osnovne informacije o vektorskem produktu vektorjev.
Ta del ne bo zelo velik, saj je malo problemov, kjer se uporablja mešani produkt vektorjev. Pravzaprav bo vse odvisno od definicije, geometrijskega pomena in nekaj delovnih formul.
Mešani produkt vektorjev je produkt treh vektorji:
Tako so se postavili v vrsto kot vlak in komaj čakajo, da jih identificirajo.
Najprej spet definicija in slika:
Opredelitev: Mešano delo nekoplanarni vektorji, posneti v tem vrstnem redu, poklical volumen paralelopipeda, zgrajen na teh vektorjih, opremljen z znakom "+", če je osnova desna, in znakom "–", če je osnova leva.
Naredimo risanje. Nam nevidne črte so narisane s pikčastimi črtami: 
Poglobimo se v definicijo:
2) Vektorji so vzeti v določenem vrstnem redu, to je prerazporeditev vektorjev v produktu, kot morda ugibate, ne poteka brez posledic.
3) Preden komentiram geometrijski pomen, bom opozoril na očitno dejstvo: mešani produkt vektorjev je ŠTEVILO: . V izobraževalni literaturi je lahko zasnova nekoliko drugačna, mešani izdelek sem navajen označevati z , rezultat izračunov pa s črko "pe".
A-prednost mešani produkt je prostornina paralelepipeda, zgrajen na vektorjih (slika je narisana z rdečimi vektorji in črnimi črtami). To pomeni, da je število enako prostornini danega paralelepipeda.
Opomba : Risba je shematska.
4) Ne obremenjujmo se spet s konceptom orientacije osnove in prostora. Pomen zadnjega dela je, da se glasnosti lahko doda znak minus. Preprosto povedano, mešani produkt je lahko negativen: .
Neposredno iz definicije sledi formula za izračun volumna paralelopipeda, zgrajenega na vektorjih.
