Preden podamo koncept vektorskega produkta, se posvetimo vprašanju orientacije urejene trojke vektorjev a →, b →, c → v tridimenzionalnem prostoru.

Za začetek odložimo vektorje a → , b → , c → iz ene točke. Usmerjenost trojke a → , b → , c → je lahko desna ali leva, odvisno od smeri samega vektorja c →. Vrsto trojke a → , b → , c → bomo določili iz smeri, v kateri je narejen najkrajši obrat od vektorja a → do b → od konca vektorja c → .

Če je najkrajši obrat izveden v nasprotni smeri urinega kazalca, se trojka vektorjev a → , b → , c → imenuje prav, če v smeri urinega kazalca – levo.

Nato vzemite dva nekolinearna vektorja a → in b →. Nato iz točke A narišemo vektorja A B → = a → in A C → = b →. Konstruirajmo vektor A D → = c →, ki je hkrati pravokoten na A B → in A C →. Tako lahko pri konstruiranju samega vektorja A D → = c → naredimo dve stvari, tako da mu damo eno ali nasprotno smer (glej sliko).

Urejena trojka vektorjev a → , b → , c → je lahko, kot smo ugotovili, desna ali leva, odvisno od smeri vektorja.

Iz zgornjega lahko uvedemo definicijo vektorskega produkta. Ta definicija je podana za dva vektorja, definirana v pravokotni sistem koordinate tridimenzionalnega prostora.

Definicija 1

Vektorski produkt dveh vektorjev a → in b → bomo imenovali tak vektor, definiran v pravokotnem koordinatnem sistemu tridimenzionalnega prostora, tako da:

• če sta vektorja a → in b → kolinearna, bo nič;
• pravokoten bo tako na vektor a → ​​​​ kot na vektor b → tj. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• njegova dolžina je določena s formulo: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
• trojka vektorjev a → , b → , c → ima enako orientacijo kot dani koordinatni sistem.

Vektorski produkt vektorjev a → in b → ima naslednji zapis: a → × b →.

Koordinate vektorskega produkta

Ker ima vsak vektor določene koordinate v koordinatnem sistemu, lahko uvedemo drugo definicijo vektorskega produkta, ki nam bo omogočila, da poiščemo njegove koordinate z uporabo danih koordinat vektorjev.

Definicija 2

V pravokotnem koordinatnem sistemu tridimenzionalnega prostora vektorski produkt dveh vektorjev a → = (a x ; a y ; a z) in b → = (b x ; b y ; b z) se imenuje vektor c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , kjer so i → , j → , k → koordinatni vektorji.

Vektorski produkt lahko predstavimo kot determinanto kvadratne matrike tretjega reda, kjer prva vrstica vsebuje vektorske vektorje i → , j → , k → , druga vrstica vsebuje koordinate vektorja a → , tretja vrstica pa koordinate vektorja a → . vsebuje koordinate vektorja b → v danem pravokotnem koordinatnem sistemu je ta determinanta matrike videti takole: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Če to determinanto razširimo na elemente prve vrstice, dobimo enakost: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k → = = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Lastnosti navzkrižnega produkta

Znano je, da je vektorski produkt v koordinatah predstavljen kot determinanta matrike c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , nato pa na osnovi lastnosti matrične determinante prikazano je naslednje lastnosti vektorskega produkta:

1. antikomutativnost a → × b → = - b → × a → ;
2. porazdelitev a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → ali a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. asociativnost λ a → × b → = λ a → × b → ali a → × (λ b →) = λ a → × b →, kjer je λ poljubno realno število.

Te lastnosti imajo preproste dokaze.

Kot primer lahko dokažemo antikomutativnost vektorskega produkta.

Dokaz antikomutativnosti

Po definiciji je a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z in b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z. In če sta dve vrstici matrike na mestih prerazporejeni, se mora vrednost determinante matrike spremeniti v nasprotno, torej a → → × b → J → K → K → A X A Y A Z B X B Y B Z = - I → K → B Y B Yb Z A X A Y A Z = - B → × A →, kar in dokazuje, da je vektorski produkt antikomutativen.

Vektorski izdelek - primeri in rešitve

V večini primerov gre za tri vrste težav.

Pri nalogah prvega tipa sta običajno podani dolžini dveh vektorjev in kot med njima, pri čemer morate najti dolžino vektorskega produkta. V tem primeru uporabite naslednjo formulo c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → .

Primer 1

Poiščite dolžino vektorskega produkta vektorjev a → in b →, če poznate a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4.

rešitev

Z določitvijo dolžine vektorskega produkta vektorjev a → in b → rešimo ta problem: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .

odgovor: 15 2 2 .

Problemi druge vrste so povezani s koordinatami vektorjev, v njih vektorski produkt, njegova dolžina itd. iščemo po znanih koordinatah danih vektorjev a → = (a x; a y; a z) in b → = (b x ; b y ; b z) .

Za to vrsto problema lahko rešite veliko možnosti naloge. Na primer, ne moremo določiti koordinat vektorjev a → in b →, temveč njihove razširitve v koordinatne vektorje oblike b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → in c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → ali vektorja a → in b → lahko podate s koordinatami njihovega začetka in končne točke.

Razmislite o naslednjih primerih.

Primer 2

V pravokotnem koordinatnem sistemu sta podana dva vektorja: a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). Poiščite njihov navzkrižni produkt.

rešitev

Po drugi definiciji najdemo vektorski produkt dveh vektorjev v danih koordinatah: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + ( a x · b y - a y · b x) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2 · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Če vektorski produkt zapišemo z determinanto matrike, potem je rešitev ta primer izgleda takole: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

odgovor: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Primer 3

Poiščite dolžino vektorskega produkta vektorjev i → - j → in i → + j → + k →, kjer so i →, j →, k → enotski vektorji pravokotnega kartezičnega koordinatnega sistema.

rešitev

Najprej poiščimo koordinate danega vektorskega produkta i → - j → × i → + j → + k → v danem pravokotnem koordinatnem sistemu.

Znano je, da imata vektorja i → - j → in i → + j → + k → koordinate (1; - 1; 0) oziroma (1; 1; 1). Poiščemo dolžino vektorskega produkta z determinanto matrike, potem imamo i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Zato ima vektorski produkt i → - j → × i → + j → + k → koordinate (- 1 ; - 1 ; 2) v danem koordinatnem sistemu.

Dolžino vektorskega produkta poiščemo s formulo (glej poglavje o iskanju dolžine vektorja): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

odgovor: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

Primer 4

V pravokotnem kartezičnem koordinatnem sistemu so podane koordinate treh točk A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2). Poiščite vektor, pravokoten na A B → in A C → hkrati.

rešitev

Vektorja A B → in A C → imata naslednje koordinate (- 1 ; 2 ; 2) oziroma (0 ; 4 ; 1). Ko smo našli vektorski produkt vektorjev A B → in A C →, je očitno, da je po definiciji pravokoten vektor na A B → in A C →, kar pomeni, da je rešitev našega problema. Poiščimo ga A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

odgovor: - 6 i → + j → - 4 k → . - enega od pravokotnih vektorjev.

Problemi tretje vrste so osredotočeni na uporabo lastnosti vektorskega produkta vektorjev. Po uporabi katere bomo dobili rešitev danega problema.

Primer 5

Vektorja a → in b → sta pravokotna in njuni dolžini sta 3 oziroma 4. Poiščite dolžino vektorskega produkta 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → .

rešitev

Z distribucijsko lastnostjo vektorskega produkta lahko zapišemo 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Z lastnostjo asociativnosti izvzamemo numerične koeficiente iz predznaka vektorskih produktov v zadnjem izrazu: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Vektorska produkta a → × a → in b → × b → sta enaka 0, saj je a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 in b → × b → = b → · b → · sin 0 = 0, potem 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → × a → . .

Iz antikomutativnosti vektorskega produkta sledi - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × b → . .

Z uporabo lastnosti vektorskega produkta dobimo enakost 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Po pogoju sta vektorja a → in b → pravokotna, to pomeni, da je kot med njima enak π 2. Zdaj ostane le še zamenjava najdenih vrednosti v ustrezne formule: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · sin (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60 .

odgovor: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

Dolžina vektorskega produkta vektorjev je po definiciji enaka a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Ker je že znano (iz šolskega tečaja), da je površina trikotnika enaka polovici produkta dolžin njegovih dveh strani, pomnoženega s sinusom kota med tema stranicama. Posledično je dolžina vektorskega produkta enaka površini paralelograma - podvojenega trikotnika, in sicer produkta stranic v obliki vektorjev a → in b →, položenih iz ene točke, s sinusom kot med njima sin ∠ a →, b →.

To je geometrijski pomen vektorskega produkta.

Fizični pomen vektorskega produkta

V mehaniki, eni od vej fizike, lahko zahvaljujoč vektorskemu produktu določite trenutek sile glede na točko v prostoru.

Definicija 3

Pod momentom sile F →, ki deluje na točko B, glede na točko A, bomo razumeli naslednji vektorski produkt A B → × F →.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

MEŠANI PRODUKT TREH VEKTORJEV IN NJEGOVE LASTNOSTI

Mešano delo tri vektorje imenujemo število, ki je enako . Določeno . Tukaj se prva dva vektorja pomnožita vektorsko, nato pa se dobljeni vektor pomnoži skalarno s tretjim vektorjem. Očitno je tak izdelek določeno število.

Razmislimo o lastnostih mešanega izdelka.

1. Geometrijski pomen mešano delo. Mešani produkt 3 vektorjev, do predznaka, je enak prostornini paralelopipeda, zgrajenega na teh vektorjih, kot na robovih, tj. .

   Tako in .

   

   Dokaz. Odložimo vektorje iz skupnega izhodišča in na njih sestavimo paralelepiped. Označimo in upoštevajmo, da . Po definiciji skalarnega produkta

   Če to predpostavimo in označimo z h poiščite višino paralelepipeda.

   Torej, ko

   Če, potem tako. Zato,.

   Če združimo oba primera, dobimo ali.

   Iz dokaza te lastnosti zlasti sledi, da če je trojka vektorjev desnosučna, potem je mešani produkt , če pa je levosučna, potem .

2. Za vse vektorje , , enakost velja

   Dokaz te lastnosti izhaja iz lastnosti 1. Dejansko je enostavno pokazati, da in . Poleg tega se znaka "+" in "–" vzameta hkrati, ker kota med vektorjema in in ter sta tako ostra kot topa.

3. Ko se katera koli dva faktorja prerazporedita, mešani produkt spremeni predznak.

   Dejansko, če upoštevamo mešani izdelek, potem, na primer, ali

4. Mešani produkt, če in samo, če je eden od faktorjev enak nič ali so vektorji koplanarni.

   Dokaz.

   Tako je nujen in zadosten pogoj za koplanarnost 3 vektorjev ta, da je njihov mešani produkt enak nič. Poleg tega sledi, da trije vektorji tvorijo osnovo v prostoru, če .

   Če so vektorji podani koordinatna oblika, potem je mogoče pokazati, da je njihov mešani produkt najden s formulo:

   .

   Tako je mešani produkt enak determinanti tretjega reda, ki ima v prvi vrstici koordinate prvega vektorja, v drugi vrstici koordinate drugega vektorja in v tretji vrstici koordinate tretjega vektorja.

   Primeri.

ANALITIČNA GEOMETRIJA V PROSTORU

Enačba F(x, y, z)= 0 določa v prostoru Oxyz neko površino, tj. geometrijsko mesto točk, katerih koordinate x, y, z zadovoljiti to enačbo. Ta enačba se imenuje enačba površine in x, y, z– trenutne koordinate.

Vendar pogosto površina ni podana z enačbo, temveč kot niz točk v prostoru, ki imajo eno ali drugo lastnost. V tem primeru je treba najti enačbo površine na podlagi njenih geometrijskih lastnosti.

LETALO.

NORMALNI RAVNINSKI VEKTOR.

ENAČBA RAVNINE, KI POTEKA SKOZI DANO TOČKO

Oglejmo si poljubno ravnino σ v prostoru. Njegov položaj je določen z določitvijo vektorja, pravokotnega na to ravnino, in neke fiksne točke M0(x 0, y 0, z 0), ki leži v ravnini σ.

Vektor, pravokoten na ravnino σ, se imenuje normalno vektor te ravnine. Naj ima vektor koordinate .

Izpeljimo enačbo ravnine σ, ki poteka skozi to točko M0 in ima normalni vektor. Za to vzemite poljubno točko na ravnini σ M(x, y, z) in razmislite o vektorju.

Za katero koli točko MО σ je vektor, zato je njihov skalarni produkt enak nič. Ta enakost je pogoj, da točka MО σ. Velja za vse točke te ravnine in se krši takoj, ko točka M bo izven ravnine σ.

Če točke označimo s radij vektorjem M, – radij vektor točke M0, potem lahko enačbo zapišemo v obliki

Ta enačba se imenuje vektor enačba ravnine. Zapišimo ga v koordinatni obliki. Od takrat

Tako smo dobili enačbo ravnine, ki poteka skozi to točko. Torej, če želite ustvariti enačbo ravnine, morate poznati koordinate normalnega vektorja in koordinate neke točke, ki leži na ravnini.

Upoštevajte, da je enačba ravnine enačba 1. stopnje glede na trenutne koordinate x, y in z.

Primeri.

SPLOŠNA ENAČBA RAVNINE

Lahko se pokaže, da katera koli enačba prve stopnje glede na kartezične koordinate x, y, z predstavlja enačbo določene ravnine. Ta enačba je zapisana kot:

Sekira+Po+Cz+D=0

in se imenuje splošna enačba ravnino in koordinate A, B, C tukaj so koordinate normalnega vektorja ravnine.

Oglejmo si posebne primere splošne enačbe. Ugotovimo, kako se ravnina nahaja glede na koordinatni sistem, če eden ali več koeficientov enačbe postane nič.

A je dolžina segmenta, ki ga odseka ravnina na osi Ox. Podobno se lahko pokaže, da b in c– dolžine segmentov, ki jih odseka obravnavana ravnina na oseh Oj in Oz.

Za konstruiranje ravnin je priročno uporabiti enačbo ravnine v segmentih.

V tej lekciji si bomo ogledali še dve operaciji z vektorji: vektorski produkt vektorjev in mešani produkt vektorjev (takojšnja povezava za tiste, ki jo potrebujejo). Ni kaj, včasih se zgodi, da za popolno srečo, poleg skalarni produkt vektorjev, potrebnih je vedno več. To je vektorska odvisnost. Morda se zdi, da smo zašli v džunglo analitične geometrije. To je narobe. V tem delu višje matematike je na splošno malo lesa, razen morda dovolj za Ostržka. Pravzaprav je material zelo običajen in preprost - skorajda ni bolj zapleten kot enak skalarni produkt, tipičnih nalog bo še manj. Glavna stvar v analitični geometriji, kot bodo mnogi prepričani ali so se že prepričali, je, da se NE ZMOTI PRI IZRAČUNAH. Ponavljajte kot urok in srečni boste =)

Če se vektorji iskrijo nekje daleč, kot strela na obzorju, ni pomembno, začnite z lekcijo Vektorji za lutke obnoviti ali ponovno pridobiti osnovno znanje o vektorjih. Bolj pripravljeni bralci se lahko selektivno seznanijo z informacijami; poskušal sem zbrati čim popolnejšo zbirko primerov, ki jih pogosto najdemo v praktično delo

Kaj vas bo takoj osrečilo? Ko sem bil majhen, sem znal žonglirati z dvema in celo tremi žogami. Dobro se je izšlo. Zdaj vam sploh ne bo treba žonglirati, saj bomo razmislili le prostorski vektorji, ploski vektorji z dvema koordinatama pa bodo izpuščeni. Zakaj? Tako so se rodile te akcije - vektor in mešani produkt vektorjev sta definirana in delujeta v tridimenzionalnem prostoru. Je že lažje!

Ta operacija, tako kot skalarni produkt, vključuje dva vektorja. Naj bodo to neminljive črke.

Sama akcija označen z na naslednji način: . Obstajajo še druge možnosti, vendar sem navajen vektorski produkt vektorjev označevati na ta način, v oglatih oklepajih s križcem.

In to takoj vprašanje: če v skalarni produkt vektorjev sta vključena dva vektorja in tukaj sta dva vektorja tudi pomnožena kakšna je razlika? Očitna razlika je najprej v REZULTATU:

Rezultat skalarnega produkta vektorjev je ŠTEVILO:

Rezultat navzkrižnega produkta vektorjev je VEKTOR: , to pomeni, da vektorje pomnožimo in spet dobimo vektor. Zaprt klub. Pravzaprav od tod izvira ime operacije. V različnih poučna literatura oznake so lahko tudi različne, uporabil bom črko .

Opredelitev navzkrižnega produkta

Najprej bo definicija s sliko, nato komentarji.

Opredelitev: Vektorski izdelek nekolinearni vektorji, posneti v tem vrstnem redu, imenovan VEKTOR, dolžina kar je številčno enaka površini paralelograma, zgrajen na teh vektorjih; vektor pravokoten na vektorje, in je usmerjena tako, da je osnova pravilno usmerjena:

Razčlenimo definicijo po delih, tukaj je veliko zanimivih stvari!

Torej je mogoče poudariti naslednje pomembne točke:

1) Izvirni vektorji, označeni z rdečimi puščicami, po definiciji ni kolinearna. Primer kolinearnih vektorjev bo primerno obravnavati nekoliko kasneje.

2) Vektorji so vzeti v strogo določenem vrstnem redu: – "a" se pomnoži z "be", ne "biti" z "a". Rezultat vektorskega množenja je VEKTOR, ki je označen z modro. Če vektorje pomnožimo v obratnem vrstnem redu, dobimo vektor enake dolžine in nasprotne smeri (barva maline). To pomeni, da je enakost resnična .

3) Zdaj pa se seznanimo z geometrijskim pomenom vektorskega produkta. To je zelo pomembna točka! DOLŽINA modrega vektorja (in s tem škrlatnega vektorja) je številčno enaka PLOŠČINI paralelograma, zgrajenega na vektorjih. Na sliki je ta paralelogram črno osenčen.

Opomba : risba je shematična in seveda nazivna dolžina vektorskega produkta ni enaka površini paralelograma.

Spomnimo se ene od geometrijskih formul: Površina paralelograma je enaka zmnožku sosednjih stranic in sinusa kota med njima. Zato je na podlagi zgoraj navedenega veljavna formula za izračun DOLŽINE vektorskega produkta:

Poudarjam, da formula govori o DOLŽINI vektorja in ne o samem vektorju. Kakšen je praktični pomen? In pomen je, da se v problemih analitične geometrije območje paralelograma pogosto najde s konceptom vektorskega izdelka:

Pridobimo drugo pomembno formulo. Diagonala paralelograma (rdeča pikčasta črta) ga deli na dva enaka trikotnika. Zato je območje trikotnika, zgrajenega na vektorjih (rdeče senčenje), mogoče najti s formulo:

4) Enako pomembno dejstvo je, da je vektor pravokoten na vektorja, tj . Seveda je tudi nasprotno usmerjen vektor (malinasta puščica) pravokoten na prvotne vektorje.

5) Vektor je usmerjen tako, da osnova Ima prav orientacija. V lekciji o prehod na novo osnovo Govoril sem dovolj podrobno o ravninska orientacija, zdaj pa bomo ugotovili, kaj je vesoljska orientacija. Razložil vam bom na prste desna roka. Mentalno kombinirajte kazalec z vektorjem in sredinec z vektorjem. Prstanec in mezinec pritisnite na dlan. Kot rezultat palec– vektorski produkt bo pogledal navzgor. To je desno usmerjena osnova (to je ta na sliki). Zdaj spremenite vektorje ( kazalec in sredinec) na nekaterih mestih, posledično se bo palec obrnil in vektorski produkt bo že gledal navzdol. To je tudi desno usmerjena osnova. Morda imate vprašanje: katera osnova ima levo orientacijo? "Dodeli" istim prstom leva roka vektorje ter pridobimo levo osnovo in levo orientacijo prostora (v tem primeru bo palec nameščen v smeri spodnjega vektorja). Figurativno povedano, te baze "sukajo" ali usmerjajo prostor v različne smeri. In tega koncepta ne bi smeli obravnavati kot nekaj namišljenega ali abstraktnega - na primer, orientacijo prostora spremeni najbolj običajno ogledalo, in če "izvlečete odsevni predmet iz ogledala", potem v splošnem primeru ne bo mogoče kombinirati z "originalom". Mimogrede, drži tri prste do ogledala in analiziraj odsev ;-)

... kako dobro je, da zdaj veš desno in levo usmerjeno baze, ker so izjave nekaterih predavateljev o spremembi usmeritve strašljive =)

Navzkrižni produkt kolinearnih vektorjev

Definicija je bila podrobno obravnavana, treba je ugotoviti, kaj se zgodi, ko so vektorji kolinearni. Če so vektorji kolinearni, jih lahko postavimo na eno ravno črto in tudi naš paralelogram se "zloži" v eno ravno črto. Območje takega, kot pravijo matematiki, degeneriran paralelogram je enak nič. Enako izhaja iz formule - sinus nič ali 180 stopinj je enak nič, kar pomeni, da je površina enaka nič

Torej, če , potem in . Upoštevajte, da je sam vektorski produkt enak ničelnemu vektorju, vendar se v praksi to pogosto zanemarja in piše, da je tudi enak nič.

Poseben primer je navzkrižni produkt vektorja s samim seboj:

Z vektorskim produktom lahko preverite kolinearnost tridimenzionalnih vektorjev, med drugim bomo analizirali tudi ta problem.

Za rešitev praktičnih primerov boste morda potrebovali trigonometrična tabela da bi iz njega našli vrednosti sinusov.

No, prižgimo ogenj:

Primer 1

a) Poiščite dolžino vektorskega produkta vektorjev, če

b) Poiščite ploščino paralelograma, zgrajenega na vektorjih, če

rešitev: Ne, to ni tipkarska napaka, namerno sem naredil enake začetne podatke v stavkih. Ker bo zasnova rešitev drugačna!

a) Glede na pogoj, morate najti dolžina vektor (navzkrižni produkt). Po ustrezni formuli:

Odgovori:

Če ste bili vprašani o dolžini, potem v odgovoru navedemo dimenzijo - enote.

b) Glede na pogoj morate najti kvadrat paralelogram, zgrajen na vektorjih. Površina tega paralelograma je številčno enaka dolžini vektorskega produkta:

Odgovori:

Upoštevajte, da odgovor sploh ne govori o vektorskem produktu, o katerem so nas vprašali območje figure, zato so dimenzije kvadratne enote.

Vedno pogledamo, KAJ moramo najti glede na stanje, in na podlagi tega oblikujemo jasno odgovor. Morda se zdi dobesednost, vendar je med učitelji veliko dobesednikov in naloga ima dobre možnosti, da jo vrnejo v popravek. Čeprav ne gre za posebno namišljeno prepirko – če je odgovor napačen, se zdi, da oseba ne razume. preproste stvari in/ali ni razumel bistva naloge. To točko je treba vedno imeti pod nadzorom pri reševanju katerega koli problema v višji matematiki in tudi pri drugih predmetih.

Kam je izginila velika črka "en"? Načeloma bi ga lahko še dodatno priložili rešitvi, vendar zaradi skrajšanja vnosa tega nisem naredil. Upam, da vsi to razumejo in je oznaka za isto stvar.

Priljubljen primer za neodvisna odločitev:

Primer 2

Poiščite območje trikotnika, zgrajenega na vektorjih, če

Formula za iskanje površine trikotnika skozi vektorski produkt je podana v komentarjih k definiciji. Rešitev in odgovor sta na koncu lekcije.

V praksi je naloga res zelo pogosta, trikotniki vas lahko nasploh mučijo.

Za reševanje drugih težav bomo potrebovali:

Lastnosti vektorskega produkta vektorjev

Nekatere lastnosti vektorskega produkta smo že obravnavali, vendar jih bom vključil v ta seznam.

Za poljubne vektorje in poljubno število veljajo naslednje lastnosti:

1) V drugih virih informacij ta element običajno ni poudarjen v lastnostih, vendar je v praksi zelo pomemben. Pa naj bo.

2) – lastnost je tudi obravnavana zgoraj, včasih se imenuje antikomutativnost. Z drugimi besedami, vrstni red vektorjev je pomemben.

3) – asociativne oz asociativno zakoni o vektorskem produktu. Konstante je mogoče preprosto premakniti izven vektorskega produkta. Saj res, kaj naj počnejo tam?

4) – distribucija oz razdelilni zakoni o vektorskem produktu. Tudi z odpiranjem oklepajev ni težav.

Za dokaz si oglejmo kratek primer:

Primer 3

Poiščite, če

rešitev: Pogoj spet zahteva iskanje dolžine vektorskega produkta. Pobarvajmo našo miniaturo:

(1) V skladu z asociativnimi zakoni jemljemo konstante izven obsega vektorskega produkta.

(2) Konstanto premaknemo izven modula in modul "poje" znak minus. Dolžina ne more biti negativna.

(3) Ostalo je jasno.

Odgovori:

Čas je, da dodamo še drva na ogenj:

Primer 4

Izračunajte površino trikotnika, zgrajenega na vektorjih, če

rešitev: Poiščite površino trikotnika s formulo . Ulov je v tem, da sta vektorja "tse" in "de" sama predstavljena kot vsota vektorjev. Algoritem tukaj je standarden in nekoliko spominja na primera št. 3 in 4 lekcije Točkovni produkt vektorjev. Zaradi jasnosti bomo rešitev razdelili na tri stopnje:

1) V prvem koraku izrazimo vektorski produkt skozi vektorski produkt, pravzaprav izrazimo vektor z vektorjem. O dolžinah še ni govora!

(1) Zamenjajte izraze vektorjev.

(2) S pomočjo distribucijskih zakonov odpremo oklepaje po pravilu množenja polinomov.

(3) Z uporabo asociativnih zakonov premaknemo vse konstante onkraj vektorskih produktov. Z malo izkušenj lahko 2. in 3. korak izvedete hkrati.

(4) Prvi in ​​zadnji člen sta zaradi lepe lastnosti enaka nič (ničelni vektor). V drugem členu uporabimo lastnost antikomutativnosti vektorskega produkta:

(5) Predstavljamo podobne pogoje.

Kot rezultat se je izkazalo, da je vektor izražen z vektorjem, kar je bilo potrebno doseči:

2) V drugem koraku poiščemo dolžino vektorskega produkta, ki ga potrebujemo. To dejanje je podobno 3. primeru:

3) Poiščite območje zahtevanega trikotnika:

Faze 2-3 rešitve bi lahko zapisali v eno vrstico.

Odgovori:

Obravnavana težava je precej pogosta v testih, tukaj je primer, kako jo rešiti sami:

Primer 5

Poiščite, če

Kratka rešitev in odgovor na koncu lekcije. Poglejmo, kako pozorni ste bili pri preučevanju prejšnjih primerov ;-)

Navzkrižni produkt vektorjev v koordinatah

, določeno v ortonormirani osnovi, izraženo s formulo:

Formula je res enostavna: v zgornjo vrstico determinante zapišemo koordinatne vektorje, v drugo in tretjo vrstico »vstavimo« koordinate vektorjev in vnesemo v strogem redu– najprej koordinate vektorja »ve«, nato koordinate vektorja »double-ve«. Če je treba vektorje pomnožiti v drugačnem vrstnem redu, je treba vrstice zamenjati:

Primer 10

Preverite, ali so naslednji prostorski vektorji kolinearni:
A)
b)

rešitev: Preverjanje temelji na eni od izjav v tej lekciji: če sta vektorja kolinearna, potem je njihov vektorski produkt enak nič (ničelni vektor): .

a) Poiščite vektorski produkt:

Vektorji torej niso kolinearni.

b) Poiščite vektorski produkt:

Odgovori: a) ni kolinearna, b)

Tukaj so morda vse osnovne informacije o vektorskem produktu vektorjev.

Ta del ne bo zelo velik, saj je malo problemov, kjer se uporablja mešani produkt vektorjev. Pravzaprav bo vse odvisno od definicije, geometrijskega pomena in nekaj delovnih formul.

Mešani produkt vektorjev je produkt treh vektorji:

Tako so se postavili v vrsto kot vlak in komaj čakajo, da jih identificirajo.

Najprej spet definicija in slika:

Opredelitev: Mešano delo nekoplanarni vektorji, posneti v tem vrstnem redu, poklical volumen paralelopipeda, zgrajen na teh vektorjih, opremljen z znakom "+", če je osnova desna, in znakom "–", če je osnova leva.

Naredimo risanje. Nam nevidne črte so narisane s pikčastimi črtami:

Poglobimo se v definicijo:

2) Vektorji so vzeti v določenem vrstnem redu, to je prerazporeditev vektorjev v produktu, kot morda ugibate, ne poteka brez posledic.

3) Preden komentiram geometrijski pomen, bom opozoril na očitno dejstvo: mešani produkt vektorjev je ŠTEVILO: . V izobraževalni literaturi je lahko zasnova nekoliko drugačna, mešani izdelek sem navajen označevati z , rezultat izračunov pa s črko "pe".

A-prednost mešani produkt je prostornina paralelepipeda, zgrajen na vektorjih (slika je narisana z rdečimi vektorji in črnimi črtami). To pomeni, da je število enako prostornini danega paralelepipeda.

Opomba : Risba je shematska.

4) Ne obremenjujmo se spet s konceptom orientacije osnove in prostora. Pomen zadnjega dela je, da se glasnosti lahko doda znak minus. Preprosto povedano, mešani produkt je lahko negativen: .

Neposredno iz definicije sledi formula za izračun volumna paralelopipeda, zgrajenega na vektorjih.

The spletni kalkulator izračuna navzkrižni produkt vektorjev. Podana je podrobna rešitev. Za izračun navzkrižnega produkta vektorjev vnesite koordinate vektorjev v celice in kliknite na gumb "Izračunaj".

×

Opozorilo

Počistiti vse celice?

Zapri Počisti

Navodila za vnos podatkov.Števila se vnašajo kot cela števila (primeri: 487, 5, -7623 itd.), decimalna mesta (npr. 67., 102,54 itd.) ali ulomki. Ulomek mora biti vpisan v obliki a/b, kjer sta a in b (b>0) cela ali decimalna števila. Primeri 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 itd.

Vektorski produkt vektorjev

Preden preidemo na definicijo vektorskega produkta vektorjev, razmislimo o konceptih urejen vektorski trojček, levi vektorski trojček, desni vektorski trojček.

Definicija 1. Imenujemo tri vektorje naročena trojna(ali trojni), če je označeno, kateri od teh vektorjev je prvi, kateri drugi in kateri tretji.

Zapis cba- pomeni - prvi je vektor c, drugi je vektor b in tretji je vektor a.

Definicija 2. Trojka nekoplanarnih vektorjev abc se imenuje desno (levo), če se ti vektorji, ko se zmanjšajo na skupno izhodišče, nahajajo na enak način, kot se nahajata velik, neupognjen kazalec in srednji prst desne (leve) roke.

Definicijo 2 lahko formuliramo drugače.

Definicija 2". Trojka nekoplanarnih vektorjev abc se imenuje desno (levo), če je vektor reduciran na skupno izhodišče c se nahaja na drugi strani ravnine, ki jo določajo vektorji a in b, od koder je najkrajši odcep a Za b izvaja v nasprotni smeri urinega kazalca (v smeri urinega kazalca).

Trojka vektorjev abc, prikazano na sl. 1 je prav in tri abc prikazano na sl. 2 je leva.

Če sta dva trojčka vektorjev desna ali leva, potem pravimo, da sta enako usmerjena. Sicer naj bi bili nasprotno usmerjeni.

Definicija 3. Kartezični ali afini koordinatni sistem se imenuje desni (levi), če trije bazični vektorji tvorijo desno (levo) trojko.

Zaradi določnosti bomo v nadaljevanju obravnavali samo desne koordinatne sisteme.

Definicija 4. Vektorska umetnina vektor a v vektor b imenujemo vektor z, označeno s simbolom c=[ab] (oz c=[a,b], oz c=a×b) in izpolnjuje naslednje tri zahteve:

• vektorska dolžina z enak zmnožku vektorskih dolžin a in b s sinusom kota φ med njimi:

|c|=|[ab]|=|a||b|sinφ;

(1)

• vektor z pravokoten na vsakega od vektorjev a in b;
• vektor c usmeril tako, da trije abc prav je.

Navzkrižni produkt vektorjev ima naslednje lastnosti:

• [ab]=−[ba] (anti-permutabilnost dejavniki);
• [(λa)b]=λ [ab] (kombinacija glede na numerični faktor);
• [(a+b)c]=[ac]+[bc] (distributivnost glede na vsoto vektorjev);
• [aa]=0 za kateri koli vektor a.

Geometrijske lastnosti vektorskega produkta vektorjev

Izrek 1. Da sta dva vektorja kolinearna, je nujno in zadostno, da je njun vektorski produkt enak nič.

Dokaz. Nujnost. Naj vektorji a in b kolinearni. Takrat je kot med njima 0 ali 180° in sinφ=greh180=greh 0=0. Zato je ob upoštevanju izraza (1) dolžina vektorja c enako nič. Potem c ničelni vektor.

Ustreznost. Naj bo vektorski produkt vektorjev a in b očitno nič :[ ab]=0. Dokažimo, da vektorji a in b kolinearni. Če je vsaj eden od vektorjev a in b nič, potem so ti vektorji kolinearni (ker ima ničelni vektor nedoločeno smer in se lahko šteje za kolinearnega kateremu koli vektorju).

Če oba vektorja a in b ni nič, potem | a|>0, |b|>0. Nato od [ ab]=0 in iz (1) sledi, da sinφ=0. Zato vektorji a in b kolinearni.

Izrek je dokazan.

Izrek 2. Dolžina (modul) vektorskega produkta [ ab] je enako površini S paralelogram, zgrajen na vektorjih, reduciranih na skupno izhodišče a in b.

Dokaz. Kot veste, je površina paralelograma enaka produktu sosednjih strani tega paralelograma in sinusa kota med njima. Zato:

Potem ima vektorski produkt teh vektorjev obliko:

Z razširitvijo determinante na elemente prve vrstice dobimo dekompozicijo vektorja a×b po osnovi i, j, k, kar je enakovredno formuli (3).

Dokaz izreka 3. Ustvarimo vse možne pare baznih vektorjev i, j, k in izračunaj njihov vektorski produkt. Upoštevati je treba, da sta bazna vektorja medsebojno pravokotna, tvorita desnosučno trojko in imata enotsko dolžino (z drugimi besedami, lahko predpostavimo, da jaz={1, 0, 0}, j={0, 1, 0}, k=(0, 0, 1)). Potem imamo:

Iz zadnje enakosti in relacije (4) dobimo:

Ustvarimo matriko 3x3, katere prva vrstica so osnovni vektorji jaz, j, k, in preostale vrstice so zapolnjene z vektorskimi elementi a in b:

Tako je rezultat vektorskega produkta vektorjev a in b bo vektor:

.

Primer 2. Poiščite vektorski produkt vektorjev [ ab], kjer je vektor a predstavljen z dvema točkama. Začetna točka vektorja a: , končna točka vektorja a: , vektor b izgleda kot .

Rešitev: Premaknite prvi vektor v izhodišče. Če želite to narediti, odštejte koordinate začetne točke od ustreznih koordinat končne točke:

Izračunajmo determinanto te matrike tako, da jo razširimo po prvi vrstici. Rezultat teh izračunov je vektorski produkt vektorjev a in b.

Opredelitev. Vektorski produkt vektorja a (množnika) in nekolinearnega vektorja (množnika) je tretji vektor c (množek), ki je sestavljen na naslednji način:

1) njegov modul je številčno enak površini paralelograma na sl. 155), zgrajen na vektorjih, tj. je enak smeri, pravokotni na ravnino omenjenega paralelograma;

3) v tem primeru izberemo smer vektorja c (izmed dveh možnih) tako, da vektorja c tvorita desni sistem (§ 110).

Oznaka: oz

Dodatek k definiciji. Če so vektorji kolinearni, potem je glede na to, da je slika (pogojno) paralelogram, naravno dodeliti ničelno površino. Zato velja, da je vektorski produkt kolinearnih vektorjev enak ničelnemu vektorju.

Ker je ničelnemu vektorju mogoče dodeliti katero koli smer, ta dogovor ni v nasprotju z odstavkoma 2 in 3 definicije.

Opomba 1. V izrazu "vektorski produkt" prva beseda nakazuje, da je rezultat dejanja vektor (v nasprotju s skalarnim produktom; prim. § 104, opomba 1).

Primer 1. Poiščite vektorski produkt, kjer so glavni vektorji desnega koordinatnega sistema (slika 156).

1. Ker so dolžine glavnih vektorjev enake eni merilni enoti, je površina paralelograma (kvadrata) številčno enaka eni. To pomeni, da je modul vektorskega produkta enak ena.

2. Ker je pravokotnica na ravnino os, je želeni vektorski produkt vektor kolinearen vektorju k; in ker imata oba modul 1, je želeni vektorski produkt enak k ali -k.

3. Od teh dveh možnih vektorjev je treba izbrati prvega, saj vektorja k tvorita desni sistem (vektorji pa levosučni).

Primer 2. Poiščite navzkrižni produkt

rešitev. Tako kot v primeru 1 sklepamo, da je vektor enak k ali -k. Zdaj pa moramo izbrati -k, saj vektorji tvorijo desni sistem (vektorji pa levičarskega). Torej,

Primer 3. Vektorji imajo dolžine enake 80 oziroma 50 cm in tvorijo kot 30°. Če vzamemo meter kot enoto za dolžino, poiščite dolžino vektorskega produkta a

rešitev. Ploščina paralelograma, zgrajenega na vektorjih, je enaka Dolžina želenega vektorskega produkta je enaka

Primer 4. Poiščite dolžino vektorskega produkta istih vektorjev, pri čemer za enoto za dolžino vzamete centimetre.

rešitev. Ker je površina paralelograma, zgrajenega na vektorjih, enaka, je dolžina vektorskega produkta enaka 2000 cm, tj.

Iz primerjave primerov 3 in 4 je razvidno, da dolžina vektorja ni odvisna samo od dolžin faktorjev, temveč tudi od izbire dolžinske enote.

Fizični pomen vektorskega produkta. Od številnih fizikalnih veličin, ki jih predstavlja vektorski produkt, bomo upoštevali samo moment sile.

Naj bo točka uporabe sile A. Trenutek sile glede na točko O imenujemo vektorski produkt. Ker je modul tega vektorskega produkta numerično enak površini paralelograma (slika 157), potem je modul momenta je enak zmnožku osnove in višine, to je sila, pomnožena z razdaljo od točke O do premice, vzdolž katere deluje sila.

V mehaniki je dokazano, da je za togo telo v ravnotežju potrebno, da ni le vsota vektorjev, ki predstavljajo sile, ki delujejo na telo, enaka nič, ampak tudi vsota momentov sil. V primeru, da so vse sile vzporedne z eno ravnino, lahko seštevanje vektorjev, ki predstavljajo momente, nadomestimo s seštevanjem in odštevanjem njihovih velikosti. Toda pri poljubnih smereh sil je taka zamenjava nemogoča. V skladu s tem je vektorski produkt definiran ravno kot vektor in ne kot število.